初中講二次方程的時候，我們都學過韋達定理。并且做過很多與之相關的比較難的題目，相信小夥伴們還記憶猶新。但是韋達定理探讨的隻是二次方程根與系數的關系，那麼對于次數更高的方程，根與系數有沒有類似的關系或者定理呢？當然是有的，今天我們就來探讨一下這個問題。

初中課本上的韋達定理是如下叙述的：

有時為了形式上的簡單，我們直接把二次項系數消為1，于是就變成了底下這個樣子：

利用韋達定理，我們可以在不知道方程解具體是多少的情況下，得到一些關于方程解的性質。有很多有趣的題目，比如我随便舉個例子：

方法就是先利用韋達定理找出兩根之和與兩根之積的值：

然後把問題中的表達式都寫成關于兩根之和與兩根之積的表達式，就可以得到最終答案：

韋達定律是如此美妙與簡潔，而它的證明過程也非常簡單。為了理解下面的内容，我們還是先來回顧一下它的證明過程。

然後把括号打開，變成底下這個形式：

再把a乘到括号裡面：

與原來的方程相比較，對應系數相等，即：

于是得到：

了解了韋達定理的證明過程，我們來簡單了解一下韋達這位數學家。韋達于1540年生于法國的普瓦圖，那個年代其實還沒有真正職業的數學家，很多人研究數學都是出于個人愛好。我們所熟悉的法國數學家費馬，被稱為“業餘數學之王”。其實韋達也是這樣的人，他當過律師，做過議會的議員，從事過政治活動，隻是用業餘時間來研究數學。即使這樣，他也在數學上做出了巨大貢獻。

韋達（Vieta，1540-1603）

韋達最主要的貢獻體現在代數學上。回憶一下，我們小學做的都是數與數之間的運算，而上了中學後開始用字母代替數，進行字母與字母之間的運算，就是所謂的符号代數。而韋達是數學史上第一個有意識并且系統地用字母來表示已知數，未知數，及其運算的數學家。因此他是符号代數的開創者，我們今天的初中數學之所以長這個樣子，主要歸功于他。

韋達一生出版了多部數學著作，如1579年出版的《應用于三角形的數學定律》，探讨了三角函數方面的問題。1591年出版了《分析方法入門》，提出了符号代數的思想。而在他去世後出版的《論方程的識别與訂正》中，提出了著名的韋達定理。

韋達于1603年逝世，在歐洲被尊為“代數學之父”。

那麼我們如何來推廣到高次方程呢？首先明确一下，我們講的高次方程指的是如下形式的方程：

根據代數學基本定理，在複數域内它一定有n個根，重根重複計算。假設這n個根分别為：

于是我們同樣可以把原方程寫成如下形式：

同樣地，我們把括号拆開，然後與原式子做對比。首先最明顯的，x的n次方系數就是an，這與原式是一樣的。

下面我們來看x的n-1次方的系數。

來仔細分析一下，一共有n個括号，把它們乘在一起的時候，要想得出x的n-1次方，則需要有n-1個括号出x，剩下一個括号出常數項。而每一個括号裡面都有一個常數項，分别是-x1，-x2，...，-xn，因此就有n種不同的可能，把這n種可能加在一起合并同類項，考慮到最前面的數字an，就得到x的n-1次方的系數為：

與原方程x的n-1次方的系數相比較，就有：

于是我們得到：

這就是所有根之和的表達式。

下面我們考慮括号拆開以後的常數項。常數項很簡單，就是把每個括号裡面的常數都提出來乘在一起就可以了：

和原方程作比較

于是就有

這樣就得到了所有根之積的表達式。總結一下，高次韋達定理就是

所以，我們所熟悉的韋達定理就是上面這個式子的特殊情況。

故事到這裡就結束了嗎？并沒有。上面隻是考慮了x的n-1次方和常數項，但是還剩下很多東西呀，x的n-2次方，n-3次方，等等等等，如果我們考慮這些項的系數，又會得到什麼結果呢？

我們考慮x的n-2次方的系數，要想出來x的n-2次方，我們需要有n-2個括号出x，剩下兩個括号出常數，這時就需要用排列組合的知識了，n和裡面選2個，讓這兩個出常數，剩下的全出x。那把所有這樣的選法加在一起，就可以得到x的n-2次方的系數：

再與原方程相比較可以得到：

這同樣是一種根與系數的關系。

繼續下去，當我們考慮x的n-3次方的時候就會有

如此等等，我們可以得到一系列的式子。這其實就是更廣泛意義上的韋達定理了。

在上面對韋達定理進行拓展的過程中，我們會發現出現了如下形式的式子：

這些式子的共同點就是所有的變量都輪着來一遍，而且地位都相同，有些小夥伴可能已經猜到了，這就是所謂的輪換多項式。

當然數學家們研究了一類更廣泛意義的多項式——對稱多項式，它的定義如下：

簡單來說，對稱多項式指的就是，任意兩個自變量交換位置之後得到的結果仍然一樣的多項式。

可以看出，上面出現的那幾個式子都是對稱多項式，并且它們的次數分别是1次，2次，...，n次。我們将它們稱為初等對稱多項式。

那麼為什麼叫它們初等對稱多項式呢？是因為我們還有更複雜的對稱多項式，但是不管多麼複雜，它都可以表示成若幹個初等對稱多項式做加減法與乘方的組合。

或者一句比較繞嘴的話來說，任何一個對稱多項式都是若幹個初等對稱多項式的多項式，這個結論被稱為對稱多項式基本定理。

因此我們隻需要把所有初等對稱多項式研究清楚就可以了。而從推廣的高次韋達定理可以看出，對于任意一個代數方程，我們都可以利用其根與系數的關系，找到所有初等對稱多項式的取值。因此很多問題就可以迎刃而解。

二重積分的計算

對稱多項式在很多地方可以大大地簡化運算。比如在高等數學中，計算重積分，曲線積分和曲面積分的時候，利用函數的對稱性可以使積分式子變得非常簡單，因此研究對稱多項式也是代數領域一個很重要的問題。

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