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三角形垂心證明公式

生活更新时间:2025-02-05 09:12:19

設⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對邊分别為a、b、c，p=(a b c)/2．

性質1：（1）銳角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；

（3）鈍角三角形的外心在三角形外.

（4）等邊三角形外心與内心為同一點。

性質2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A)）.

性質3：∠GAC ∠B=90°

證明：如圖所示延長AG與圓角與P（B、C下面的那個點）

∵A、C、B、P四點共圓

∴∠P=∠B

∵∠P ∠GAC=90°

∴∠GAC ∠B=90°

性質4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那麼點G是⊿ABC外心的充要條件是：

（1）向量PG=(tanB tanC)向量PA (tanC tanA)向量PB (tanA tanB)向量PC)/2(tanA tanB tanC).

或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA (cosB/2sinCsinA)向量PB (cosC/2sinAsinB)向量PC.

性質5：三角形三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。

性質6：點G是平面ABC上一點，那麼點G是⊿ABC外心的充要條件　(向量GA 向量GB)·向量AB= (向量GB 向量GC)·向量BC=(向量GC 向量GA)·向量CA=0.

以及如下充要條件成立：

三角形垂心證明公式（幾何三角形外心特性及公式證明）1

三角形外接圓半徑：

R=abc/（4S△ABC）

對于任意三角形，其面積 S=(1/2)*ab*sinC (1)

由正弦定理，得：a/sinA=b/sinB =c/sinC=2R

将 sinC=c/2R 代入公式（1）：

S=abc/(4R)

三角形垂心證明公式（幾何三角形外心特性及公式證明）2

三角形垂心證明公式（幾何三角形外心特性及公式證明）3

三角形垂心證明公式（幾何三角形外心特性及公式證明）4

三角形垂心證明公式（幾何三角形外心特性及公式證明）5

三角形垂心證明公式（幾何三角形外心特性及公式證明）6

三角形垂心證明公式（幾何三角形外心特性及公式證明）7

R=abc/（4S△ABC）

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