今天看到一道超級麻煩的中考數學壓軸題，是關于抛物線上相似三角形以及軸對稱點的問題。題目中多次重複求直線解釋式，以及關于直線軸對稱點的坐标。特别煩！雖然如此，這類題目在中考數學中出現的概率卻一點也不低，所以還是有探究學習的必要的。題目是這樣的：

如圖, 二次函數y=x^2 bx 3的圖像與y軸交于點A, 過點A作x軸的平行線交抛物線于另一點B. 抛物線過點C(1,0), 且頂點為D, 連接AC, BC, BD, CD.

(1)填空：b=____;

(2)點P是抛物線上一點，點P的橫坐标大于1，直線PC交直線BD于點Q，若∠CQD=∠ACB，求點P的坐标；

(3)點E在直線AC上，點E關于直線BD對稱的點為F，點F關于直線BC對稱的點為G，連接AG，當點F在x軸上時，直接寫了出AG的長.

第(1)小題自然是妥妥的送分題，隻要把(1,0)代入解析式得：1 b 3=0, 就可以解得b=-4. 一般的中考數學壓軸題第(2)小題也不會太難。但這道題從第(2)小題開始，就很麻煩。要分兩種情況讨論。以下将解釋部分寫成【】中。

解：(2)記BD交x軸于點M，設P(p, p^2-4p 3), B(4,3), D(2,-1),

BC=根号((4-1)^2 3^2)=3倍根号2，CD=根号((-1)^2 (2-1)^2)=根号2，【目标是要證明△BCD∽△AOC。為什麼知道？經驗加上探究過程中的觀察咯。】

所以BC/DC=3, 又AO/CO=3，所以BC/DC=AO/CO. 【對應角的兩條邊成比例】

又kBC=3/(4-1)=1,kCD=-1/(2-1)=-1,【兩條直線的斜率的積等于-1，說明它們互相垂直】

∴∠BCD=90度=∠AOC, ∴△BCD∽△AOC(SAS),

∴∠BDC=∠ACO=∠BAC, 【前面是相似的對應角，後面是平行線的内錯角】

又∠DCM=∠BCM=∠ABC, 【前面是斜率相反的兩條直線與橫軸夾角中的銳角相等，後面還是平行線的内錯角。這些如果要全部寫完整，解題過程得有一匹布那麼長。但這裡隻是第二小題的二分之一不到】

∴∠CMD=∠ACB=∠CQD,【前面是“兩個三角形有兩組對應邊相等，因此第三組角相等，或相似的對應角相等”，後面是已知條件。】

因此當Q在D點上方時，點Q與點M重合, 【否則∠CMD不等于∠CQD，因為那樣的話，它們一個是三角形的外角，一個是與這個外角不相鄰的内角】

p=3, P(3,0).【這個時候P點在橫軸上，就是抛物線與橫軸的另一個交點（相對于C點）】

當Q在D點下方時，設BD：y=2x b, 【BD的斜率直接就用上了，就是BD兩點的縱坐标差比橫坐标差】

代入D(2,-1)解得b=-5, ∴BD：y=2x-5, M(5/2,0)【求M點的坐标的過程都省略了】,

可設Q(q, 2q-5)，CQ=CM,【這是等角對等邊，等角是∠CMD=∠CQD】

即(q-1)^2 (2q-5)^2=(5/2-1)^2,【因為不想寫根号，所以這裡其實是CQ^2=CM^2】

解得q=1.9【不合理的根已經被舍去】

Q(1.9, -1.2),【連求Q點的縱坐标的步驟也省了】

設CQ：y=4x/3 c, 【再次直接忽略求斜率的過程，直接套用公式】

代入C(1,0), 解得c=4/3, ∴CQ：y=-4x/3 4/3,

當x^2-4x 3=-4x/3 4/3時, x^2-8x/3 5/3=0. 【這是求CQ和抛物線的交點P的坐标】

∴p=5/3【C點坐标已被舍去】, P(5/3,8/9).

綜上，P(3,0)或P(5/3,8/9).

【瞧瞧，這第二題，夠不夠麻煩？第(3)小題要求直接寫出答案，這樣的要求，你一個字都不要相信他，求起來可能更麻煩，因為過程不用寫在試卷上，所以以下用分析的方式來組織解題過程】

(3)分析：如果有圖，可能會更直觀點，所以我們先畫一個草圖，幫助理解。

這裡要寫出AC的解析式y=-3x 3, 和BD的解析式y=2x-5,(第(2)小題已求)。并且設E點坐标(e,-3e 3), 以及EF的解析式y=-x/2 d,

代入(e,-3e 3), 解得：d=-5e/2 3

接下來求EF和BD的交點坐标，就是當2x-5=-x/2-5e/2 3時, 求得x=(16-5e)/5,

以及F點的坐标，即當-x/2-5e/2 3=0時, x=6-5e,

根據EF和BD的交點是E，F的中點，利用中點公式列方程得：e 6-5e=2(16-5e)/5, 解得：e=-1/5, 這樣就可以得到F點的坐标(7,0).

并且得到FG的解析式y=-x 7；而BC的解析式：y=x-1,

因此可以求它們的交點坐标，即當-x 7=x-1時，解得x=4,

現在設G(g,-g 7), 則g=8-7=1, 注意，這裡運用的也是中點坐标公式的變形。即FG和BC的交點，是F，G的中點。

這樣就得到了G點的坐标(1,6), 已知A點坐标(0,3)，因此

AG=根号(1^2 (6-3)^2)=根号10.

假如我們可以直接應用關于直線對稱的兩個點的坐标公式，或許第(3)小題可以稍微簡便一點吧。但這個公式老黃前面的文章介紹過，也是蠻複雜的。或者這道題還存在用幾何的方法求角的可能性。

不論如何，考試的時間有限，我們也想不了那麼多。不知道這道題給了你什麼體驗呢？

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