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國王給第三個外國人獎賞最多，其次是第二個外國人，用算術方法解算的外國人得到的獎賞最少。

國王笑着說：“我這是按解算方法好不好來發獎的，你們不會有意見吧？”

故事到此結束。

作者簡介：李毓佩，1938年生于山東，首都師範大學數學系教授。

開場故事給我們一個啟示，代數比算術抽象，具有普遍性和一般性以及更廣泛的适用性，因為揭示了研究對象的關系和規律，從而蘊藏着巨大的威力。

算術是小學數學的重要内容，進入中學階段後就要學習代數了。讓我們從淺入深，通過幾道例題來認識一下代數的威力。

先看一個入門的基礎題目：(a b)(c d)=？

小學生還不習慣字母代替數，那我們就用數形結合的方法來尋求答案。請看下圖：

利用幾何圖形的直觀，我們可以方便地寫出答案：

(a b)(c d)=ac ad bc bd

而且，我們還得到了一種計算乘法的方法——十字交叉法。

舉例如下：

如圖所示：47×34=1598

(40 7)(30 4)

=40×30 40×4 30×7 4×7

=1200 160 210 28

=1598

我們把剛才的題目變一下，看看能得出什麼結果。

用幾何法證明代數恒等式

【例題1】(a b)(a b)=(a b)²=？

如圖所示，大正方形面積=(a b)²，中正方形面積=a²，小正方形面積=b²，兩個矩形面積相等，都等于ab。

(a b)²=a² ab ba b²

=a² 2ab b²

再變化一下題目，看看能夠得到什麼恒等式。

【例題2】(a-b)(a-b)=(a-b)²=？

如圖所示，令正方形PBCD邊長為a，QB=BL=b，正方形HCEF的面積恰好等于(a-b)²，正方形QBFL=b²。

由圖可知，矩形PBHL=矩形QBED=ab，

可得

(a-b)²=a²-ab-ab b²

=a²-2ab b²

再把題目變化一下，看看能夠得到什麼恒等式。

【例題3】(a b)(a-b)=？

古希臘數學家用線段長度來表示數，由于缺乏适當的代數符号，為了進行代數運算，設計出了巧妙的幾何法證明代數恒等式。在《幾何原本》前幾卷可以零星地見到這種形式。證明方法是畢達哥拉斯的“剖分法”。下面請看《幾何原本》第二卷命題5：

如果一線段既被等分又被不等分，則以不等分為邊的矩形加上以兩分點之間的線段為邊的正方形等于以這一線段的一半為邊的正方形。

如果AB是給定的線段，P為等分點，Q為不等分點，命題5可以寫作：

AQ·QB PQ²=PB²

如果令AQ=2a，QB=2b，則可導出代數恒等式

(a b)²=4ab (a-b)²

如果令AB=2a，PQ=b，則可導出代數恒等式

(a b)(a-b)=a²-b²

請看下圖，PB=a，PQ=b，則用數字1～5标注的圖形面積有以下關系：

2 3 4 5=a²

4=b²

2 3 5=a²-b²

1=3 5

1 2=2 3 5=(a b)(a-b)

下面用剖分法證明命題5：

證明1

證明2

總結

(a±b)²=a²±2ab b²這一類的乘法公式，不論a和b取什麼值，等式都成立，所以又稱為代數恒等式。從左到右，稱為整式的乘法；從右到左，稱為因式分解。

代數恒等式有很多，再介紹一些，供大家參考。

(a² b²)(c² d²)=(ac bd)² (ad－bc)²

上面這個恒等式告訴我們：如果兩個數中每一個數又都是兩個平方數之和，則乘積也是兩個平方數之和。

如果令恒等式中的某一個字母為1，可以得到一個簡化的恒等式。

舉個例子，(n 1)²=n² 2n 1

中國古代數學家楊輝用代數恒等式解決應用問題。

在南宋數學家楊輝的《田畝比類乘除算法》有一道題“直田積八百六十四,隻雲闊不及長一十二步，問長與闊各幾步？”

意思是：一塊方田面積為864平方步，隻知道寬比長要短12步，問長方形的長和寬各為多少步？

圖片來自《中國代數故事》

請看上圖，設長方形的長為a，寬為b，圖中大正方形邊長為a＋b，正中的小正方形邊長為a－b，根據代數恒等式(a b)²=4ab (a-b)²可得

大正方形面積=4×864 12×12

=3456 144

=3600

于是得到a＋b=60，求出a=36，b=24(小學數學的和差問題)

楊輝解法的代數原理是：

(a-b)² 4ab=a²-2ab b² 4ab=a² 2ab b²=（a b)²

由上圖可得到一個速算法。舉個例子，19×19

=(10 9)²

=4·10·9 (10－9)²

=361

把完全平方公式的字母組合a和b換成x和a，就能得到下面的恒等式：

(x a)²=x² 2ax a²

幾何意義如下圖所示：

解一元二次方程舉例：

x² 6x=7

令a=3可得

(x 3)²=x² 6x 9

把原方程改寫為

(x 3)²=16

可知x 3等于4或者－4，

x₁=1，x₂=－7

任何一元二次方程都能用類似的配方法解開。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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