立體幾何是高考必考的考點之一，其分值占比高，難度略大，是衆多考生反映的難點之一，本節着重展現有關立體幾何的重要知識點，包括點、線、面的位置關系，即平行和垂直關系，包括線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等，還有有關棱柱、棱錐、棱台、圓錐、圓柱、圓台、球等體積和側面積的計算公式。

1.1空間幾何體

一、旋轉體

1、定義

一條平面曲線繞着它所在的平面内的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體。

2、分類

（1）球

①定義

以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球。

②球面距離

球面上兩點之間的最短距離，就是經過兩點的大圓在這兩點之間的一段劣弧的長度，我們将這個弧長叫做兩點的球面距離。

③表示

用表示球心的字母表示。可表示為球O.

（2）圓柱體

①定義

以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其餘三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱。旋轉軸稱之為圓柱的軸，軸的長度稱之為高，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，在任何位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線。

②表示

用表示軸的字母來表示，如上圖，可表示為圓柱OO′。

③性質

ⅰ兩底面是全等的圓。

ⅱ側面展開圖是矩形。

ⅲ過任意兩條母線的截面是矩形。

ⅳ平行于底面的截面是與兩底面全等的圓。

（3）圓錐體

①定義

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其餘兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。

②表示

用表示它的軸的字母表示，可表示為圓錐SO。

③性質

ⅰ平行于底面的截面是與底面相似的圓面。

ⅱ過任意兩條母線的截面是等腰三角形。

ⅲ側面展開圖是扇形。

（4）圓台體

①定義

用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓台。

②表示

用表示它的軸的字母來表示，可表示為圓台OO′。

③性質

ⅰ平行于底面的截面是圓面。

ⅱ過任意兩條母線的截面是等腰梯形。

ⅲ側面展開圖是扇環。

二、多面體

1、定義

由若幹個多邊形所圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個面叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，若幹個面的公共頂點叫做多面體的頂點，連接不在同一平面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線。

2、分類

（1）棱柱

定義：

有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，其餘各面叫做棱柱的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱，側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點，不在同一面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線，兩個底面的距離叫做棱柱的高。棱柱與圓柱統稱為柱體。

分類：

ⅰ按側棱與底面的關系分：

斜棱柱：側棱不垂直于地面。

直棱柱：側棱垂直于底面。

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。

ⅱ按底面多邊形的邊數分

三棱柱、四棱柱、五棱柱……

性質：

ⅰ側棱都相等，側面是平行四邊形。

ⅱ兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形。

ⅲ過不相鄰的兩條棱的截面是平行四邊形。

直棱柱的性質：

ⅰ側棱垂直于底面，且其長為高的長度。

ⅱ側面為矩形。

ⅲ經過不相鄰的兩條側棱的截面是矩形。

（2）棱錐

定義：

有一個面是多邊形，其餘各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。這個多邊形叫做棱錐的底面，其餘各面叫做棱錐的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱，各側面的公共點叫做棱錐的頂點，頂點到底面的距離叫做棱錐的高。如果棱錐的底面是正多邊形，且各側面全等，則就稱為正棱錐。棱錐與圓錐統稱為錐體。

性質：

ⅰ側面是三角形，底面是多邊形。

ⅱ如果棱錐被平行于底面的平面所截，則棱錐的側棱和高被這個平面分成比例線段，并且截面和底面是相似多邊形。

ⅲ在被平行于底面的平面所截時，截面面積和底面面積的比，等于截得棱錐的高和已知棱錐的高的平方比。

ⅳ在被平行于底面的平面所截時，截得棱錐的側面積和已知棱錐側面積的比，等于截得棱錐的高和已知棱錐的高的平方比。

正棱錐的性質：

ⅰ各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形。

ⅱ各側面等腰三角形底邊上的高稱為斜高，其均相等。

ⅲ棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形。

ⅳ棱錐的高、側棱和側棱在底面上的射影組成一個直角三角形。

分類：

按側棱數（底面多邊形的邊數），可分為三棱錐（四面體）、四棱錐、五棱錐……

（3）棱台

定義：

用平行于底面的平面截棱錐，截面和棱錐底面的部分叫棱台。原棱錐的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其它各面叫做棱台的側面，相鄰側面的公共邊叫棱台的側棱，兩底面的距離叫棱台的高。由正棱錐截得的棱台叫正棱台，正棱台各側面的高叫正棱台的斜高。棱台與圓台統稱為台體。

性質：

ⅰ側面是梯形，兩底面是相似多邊形。

ⅱ過不相鄰的兩側棱的截面是梯形。

ⅲ平行于底面的截面是與兩底面相似的多邊形。

分類：

按側棱數（底面多邊形的邊數），可分為三棱台、四棱台、五棱台……

三、直觀圖

即在平面上反映空間圖形，其畫法采用斜二測畫法，具體步驟如下：

1、 在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于點O，畫直觀圖時，把它們化成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′=45°，它們确定的平面表示水平面。

2、 已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分别畫成平行于x′軸或y′軸的線段。

3、 已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半。

四、三視圖

1、主視圖、左視圖、俯視圖。

2、俯視圖和主視圖長度一樣，主視圖和左視圖高度一樣，俯視圖和左視圖寬度一樣。

1.2空間中點、線、面等的位置關系

一、點、線、面等的位置關系

1、點與直線的位置關系

（1）點在直線上。 （2）點在直線外。

2、點與平面的位置關系

（1）點在平面内。 （2）點在平面外。

3、兩條直線的位置關系

（1）平行直線。 （2）相交直線（隻有一個公共點）。

（3）異面直線：不同在任何一個平面内的直線。

4、直線與平面的位置關系

（1）直線在平面内。 （2）直線和平面相交（隻有一個公共點）。

（3）直線和平面平行。

5、平面與平面的位置關系

（1）平行平面。 （2）相交平面。

二、空間圖形的公理與定理

1、公理

（1）如果一條直線上的兩點在一個平面内，那麼這條直線上所有的點都在這個平面内。

（2）經過不在同一條直線上的三點，有且隻有一個平面。

（3）如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且隻有一條通過這個點的公共直線。

（4）平行于同一條直線的兩條直線平行。

2、定理

（1）經過一條直線和這條直線外的一點，有且隻有一個平面。

（2）經過兩條相交直線，有且隻有一個平面。

（3）經過兩條平行直線，有且隻有一個平面。

（4）空間中如果兩個角的兩邊分别對應平行，那麼這兩個角相等或互補。

三、線、面等相互之間的夾角

1、異面直線間的夾角

已知兩條異面直線a、b，經過空間任一點O,作直線a′∥a,b′∥b，我們把a′與b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）。其範圍為（0°,90°]。

2、異面直線互相垂直

如果兩條異面直線所成的角是直角，那麼我們就說這兩條異面直線互相垂直。

3、直線與平面的夾角

一條直線PA和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線PA，叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，則過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線PA在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，其取值範圍為[0°,90°],0°包括線面平行或線在平面内。

4、二面角

一條直線和由這條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面，棱為AB，面為、的二面角，記作二面角-AB-，也可在棱以外的半平面部分分别取點P、Q，将這個二面角記作P-AB-Q。

5、二面角的平面角

在二面角-l-的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射線OP和OQ，則射線OP和OQ所成的∠POQ叫做二面角的平面角。其取值範圍為[0°,180°]。

6、直二面角

平面角是直角的的二面角叫做直二面角。

三、線、面等相互之間的平行與垂直

1、線面平行

（1）判定定理

①若平面外一條直線與此平面内的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那麼這條直線和這個平面平行。

③如果一條直線平行于兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也平行于另一個平面或在這個平面内。

④如果兩條平行直線中的一條平行于一個平面，那麼另一條也平行于這個平面或在這個平面内。

⑤兩個平面平行，其中一個平面内的直線必平行于另一個平面。

（2）性質定理

①如果一條直線與一個平面平行，那麼過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行。

②如果一條直線與兩個相交平面都平行，那麼這條直線與兩個平面的交線平行。

③如果一條直線與一個平面平行，那麼過這個平面内的一點，與這條直線平行的直線，必在這個平面内。

④如果一條直線與一個平面平行，那麼夾在這條直線和平面間的平行線段相等。

2、線面垂直

（1）定義

如果直線l與平面内的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直。直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面，垂直時唯一的公共點叫做垂足。

（2）判定定理

一條直線與一個平面内的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

（3）性質定理

①垂直于同一個平面的兩條直線平行。

②如果一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直與此平面中的任何一條直線。

3、面面平行

（1）判定定理

①如果一個平面内有兩條相交直線都平行于另一個平面，那麼這兩個平面平行。

②如果一個平面内的兩條相交直線分别平行于另一個平面内的兩條相交直線，那麼這兩個平面平行。

（2）性質定理

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。

4、面面垂直

（1）定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

（2）判定定理

① 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

②一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，則和另一個也垂直。

（3）性質定理

兩個平面垂直，則一個平面内垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

5、三垂線定理及其逆定理

（1）三垂線定理

若平面内的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的投影，則這兩條直線垂直。

（2）三垂線逆定理

若平面内的一條直線垂直于平面外的一條直線，則平面内的這條直線垂直于平面外這條直線在該平面的投影。

1.3幾何體的表、側面積、體積

1、柱體

（1）S=ch （2）S=2πrl （3）V=Sh （4）V=πrh

2、錐體

（1）S=ch′ （2）S=πrl （3）V=Sh （4）V=πrh

3、台體

（1）S=(c c′)h′ （2）S=π(r R)l

（3）V=(S S)h （4）V=π(R Rr r)h

4、球體

（1）S=4πR （2）V=πR

以上的c表示下底面周長，c′表示上底面周長,h表示高

以上知識點為高中數學必修二（北師大版）第一章的所有知識點，同學們可随時複制打印學習。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!