高一數學必修一集合間的基本運算2?學 習 目 标核 心 素 養，我來為大家科普一下關于高一數學必修一集合間的基本運算2?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

高一數學必修一集合間的基本運算2

1．Venn圖的優點及其表示

(1)優點：形象直觀．

(2)表示：通常用封閉曲線的内部代表集合．

2．子集、真子集、集合相等的相關概念

思考1：(1)任何兩個集合之間是否有包含關系？

(2)符号“∈”與“⊆”有何不同？

提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，這兩個集合就沒有包含關系．

(2)符号“∈”表示元素與集合間的關系；

而“⊆”表示集合與集合之間的關系．

3．空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為∅.

(2)規定：空集是任何集合的子集．

思考2：{0}與∅相同嗎？

提示：不同．{0}表示一個集合，且集合中有且僅有一個元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.

4．集合間關系的性質

(1)任何一個集合都是它本身的子集，即A⊆A.

(2)對于集合A，B，C，

①若A⊆B，且B⊆C，則A⊆C；

②若A

B，B

C，則A

C.

(3)若A⊆B，A≠B，則A

B.

1．設集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，則下列關系正确的是(　　)

A．N∈M　　 B．N∉M

C．N⊇M D．N⊆M

D　[∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，

又2∉N，∴N⊆M.]

2．下列四個集合中，是空集的為(　　)

A．{0}

B．{x|x>8，且x<5}

C．{x∈N|x2－1＝0}

D．{x|x>4}

B　[滿足x>8且x<5的實數不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]

3．集合{0,1}的子集有________個．

4　[集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4個．]

4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适當的符号填空：

(1)A________B；(2)A________C；

(3){2}________C；(4)2________C.

(1)＝　(2)

　(3)

　(4)∈　[集合A為方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A

C；(3){2}

C；(4)2∈C.]

集合間關系的判斷

【例1】　判斷下列各組中集合之間的關系：

(1)A＝{x|x是12的約數}，B＝{x|x是36的約數}；

(2)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}；

(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．

[解]　(1)因為若x是12的約數，則必定是36的約數，反之不成立，所以A

B.

(2)由圖形的特點可畫出Venn圖如圖所示，從而D

B

A

C.

(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故A

B.

判斷集合關系的方法.

(1)觀察法：一一列舉觀察.

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什麼，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關系.

(3)數形結合法：利用數軸或Venn圖.

提醒：若A⊆B和A

B同時成立，則A

B更能準确表達集合A，B之間的關系.

1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關系的Venn圖是(　　)

B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N

M，其對應的Venn圖如選項B所示．]

子集、真子集的個數問題

【例2】　已知集合M滿足：{1,2}

M⊆{1,2,3,4,5}，寫出集合M所有的可能情況．

[解]　由題意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一個，因此依據集合M的元素個數分類如下：

含有3個元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；

含有4個元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；

含有5個元素：{1,2,3,4,5}．

故滿足條件的集合M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．

1．求集合子集、真子集個數的3個步驟

2．與子集、真子集個數有關的4個結論

假設集合A中含有n個元素，則有

(1)A的子集的個數有2n個．

(2)A的非空子集的個數有2n－1個．

(3)A的真子集的個數有2n－1個．

(4)A的非空真子集的個數有2n－2個．

2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集及真子集．

[解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，

∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．

,

由集合間的關系求參數

[探究問題]

集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素嗎？當A中含有元素時，試用數軸表示其所包含的元素．

提示：不一定．當b≤1時，A＝∅，其不含有任何元素，當b>1時，集合A中的元素用數軸可表示為：

【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B

A，求實數m的取值範圍．

[思路點撥]　

分B＝∅和B≠∅結合數軸―→

[解]　(1)當B＝∅時，

由m＋1>2m－1，得m<2.

(2)當B≠∅時，如圖所示．

∴或

解這兩個不等式組，得2≤m≤3.

綜上可得，m的取值範圍是{m|m≤3}．

1．若本例條件“A＝{x|－2≤x≤5}”改為“A＝{x|－2<x<5}”，其他條件不變，求m的取值範圍．

[解]　(1)當B＝∅時，由m＋1>2m－1，得m<2.

(2)當B≠∅時，如圖所示，

∴解得即2≤m<3，

綜上可得，m的取值範圍是{m|m<3}．

2．若本例條件“B

A”改為“A⊆B”，其他條件不變，求m的取值範圍．

[解]　當A⊆B時，如圖所示，此時B≠∅.

∴即∴m不存在．

即不存在實數m使A⊆B.

1．利用集合的關系求參數問題

(1)利用集合的關系求參數的範圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合(含參數)，另一個為靜集合(具體的)，解答時常借助數軸來建立變量間的關系，需特别注意端點問題．

(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含參數的問題時，要注意讨論A＝∅和A≠∅兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．

2．數學素養的建立

通過本例嘗試建立數形結合的思想意識，以及在動态變化中學會用分類讨論的思想解決問題．

1．A⊆B隐含着A＝B和A

B兩種關系．

2．求集合的子集時，可按照子集元素個數分類，再依次寫出符合要求的子集．

3．由集合間的關系求參數問題的注意點及常用方法

(1)注意點：①不能忽視集合為∅的情形；

②當集合中含有字母參數時，一般需要分類讨論．

(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關系求相關參數的範圍(值)時，常采用數形結合的思想，借助數軸解答．

1．思考辨析

(1)空集中隻有元素0，而無其餘元素．(　　)

(2)任何一個集合都有子集．(　　)

(3)若A＝B，則A⊆B或B⊆A.(　　)

(4)空集是任何集合的真子集．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的個數是(　　)

A．16　　 B．8

C．7 D．4

C　[易知集合A＝{0,1,2}，含有3個元素，∴A的真子集有23－1＝7個．]

3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，則實數m＝________.

4　[由B⊆A可知，m＝4.]

4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．

(1)若A

B，求a的取值範圍；

(2)若B⊆A，求a的取值範圍．

[解]　(1)若A

B，則集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，則a>2.

(2)若B⊆A，則集合B中的元素都在集合A中，則a≤2.

因為a≥1，

所以1≤a≤2.

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