尺規作圖是古希臘幾何學中的一項重要内容。早在公元前5世紀，古希臘數學家們就已經習慣于用不帶刻度的直尺和圓規來作圖了。在他們看來，直線和圓是可以信賴的最基本的圖形，而直尺和圓規是畫兩種圖形的工具，隻有用尺規做出的圖形才是可信的。

尺規作圖不能問題就是“不可能”用尺規作圖完成的作圖問題。其中最著名的是被稱為幾何三大問題的古典難題：

一、倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍

傳說中，這問題的來源，可追溯到公元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘提洛島，造成四分之一的人口死亡。島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意，神指示說：要想遏止瘟疫，得将阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍，結果體積當然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接着人們又試着把體積改成原來的2倍，但形狀卻變為一個長方體…第羅斯島人在萬般無奈的情況下，隻好鼓足勇氣到雅典去求救于當時著名的學者柏拉圖。

一開始，柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易。他們根據平時的經驗，覺得利用尺規作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等于已知正方形的2倍，那麼作一個正方體，使它的體積等于已知正方體體積的2倍，還會難嗎?結果，這個問題至今無人能解。這就是著名的“倍立方問題”。

二、化圓為方的問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積

公元前5世紀，古希臘哲學家安那薩哥拉斯因為發現太陽是個大火球，而不是阿波羅神，犯有“亵渎神靈罪”而被投入監獄。他被判處死刑，在等待執行的日子裡，夜晚，安那薩哥拉斯睡不着。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房，他對方鐵窗和圓月亮産生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最後他說：“好了，就算兩個圖形面積一樣大好了。”安那薩哥拉斯把“求作一個正方形，使它的面積等于已知的圓面積”作為一個尺規作圖問題來研究。起初他認為這個問題很容易解決，誰料想他把所有的時間都用上，也一無所獲。 經過好朋友、政治家伯裡克利的多方營救，安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己在監獄中想到的問題公布出來，許多數學家對這個問題很感興趣，都想解決，可是一個也沒有成功。這就是著名的“化圓為方問題”。

三、三等分角：作一個角，将其分為三個相等的部分

公元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法，正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的：以已知角的頂點為圓心，用适當的半徑作弧交角兩地兩邊的兩個交點，再分别以這兩點為圓心，用一個适當的長作半徑畫弧，這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這麼容易，很自然地會把問題略變一下：三等分怎麼樣呢？這樣，這一個問題就這麼非常自然地出現了。這就是著名的“三等分角問題”。

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