首先我們來回憶下高中時候函數的定義. 設 A, B 是兩個非空數集, 若按照某種确定

的對應關系 f, 使對集合 A 中的任意一個數 x, 在集合 B 中都有唯一确定的數 f(x) 和它

對應, 那麼稱 f : A → B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數, 并記作

y = f(x), x ∈ A.

我們把 x 叫做自變量, y 的取值範圍 A 叫做函數的定義域, 和 x 值對應的 y 值叫做函數值,

函數值的集合 {f(x)|x ∈ A} ⊆ B 叫做函數的值域.

(1) 根據上述關于函數的定義, 我們發現“按照某種确定的對應關系”的表述似乎很模

糊, 那準确的定義是什麼呢?

(2) 上述函數的定義, 事先要求 A, B 都是數集, 那對一般的兩個集合可否類似的定義

“函數”呢?

帶着這些問題我們來講一般“函數”的定義.

假設 C 和 D 是兩個給定的集合.

(1) 一個賦值法則 (rule of assignment) R 是指滿足條件

(c, d) ∈ R 和 (c, d′) ∈ R ⇒ d = d′

的 C × D 的子集.

(2) 假設 R 是一個賦值法則. 令其定義域 (domain) 和像域 (image set) 如下

Dom(R) ≡ R 的定義域 := {c ∈ C|存在 d ∈ D 使得 (c, d) ∈ R},

Im(R) ≡ R 的像域 := {d ∈ D|存在 c ∈ C 使得 (c, d) ∈ R}.

一個映射 (mapping) f 是指一個二元對 (R, B), 其中 R 是一個賦值法則, B 是一個集

合 (稱為 f 的值域 (range)), 滿足 Im(R) ⊆ B.

(1) f 的定義域 ≡ Dom(f) := Dom(R).

(2) f 的像域 ≡ Im(f) := Im(R).

(3) 我們引入記号 (事實上, 這個記号是Euler在 1734 年引入的):

f : A → B, a → f(a),

這裡 A 是 f 的定義域, B 是 f 的值域（從而 Im(f) ⊆ B）, f(a) 是 B 中滿足條件

(a, f(a)) ∈ R 的唯一元素.

(4) f 的圖 (graph) 定義為

graph(f) := {(a, b) ∈ A × B|b = f(a)} = {(a, f(a))|a ∈ A} ⊆ A × B.

按照上面的定義, 映射 f 的像域就是高中數學中函數的“值域”, 而這裡的值域就是

本小節一開頭提到的“集合 B”. 那為什麼要引入值域和像域呢?

(1) 高中時候的函數基本上都是可以顯示寫出來的, 即可以寫成 y = f(x) 這樣的形式.

(2) 但不是每個函數都可以顯示寫出來的, 比如 y e^y = x, 這裡 x 是自變量而 y 是函數值.

如果 x 的範圍是 (−1/4, ∞), 則這個函數關系所确立的函數值 y 肯定落在 R (從而

我們可以把值域取成 R), 這是因為 e^y > 0 對任意實數 y 都成立. 因此值域可以理解

為函數值 y 的一個“粗糙”範圍, 而像域則是函數值 y 的“精準”範圍. 事實上可以

證明函數關系 y e^y = x, x > −1/4, 所确立的函數值範圍是 (−∞, a_1) ∪ (a_2, ∞), 這

裡 −∞ < a_1 < −1 < a_2 < 0. 比如當 y = −1 時, x = −1/e < −1/4, 所以 −1 肯定不

在函數值 y 的範圍内, 即不在像域内. 實際上, 利用導數性質可以證明對任何 y ∈ R

都有 y e^y ≥ −1/e, 且等号取到當且僅當 y = −1.

(3) 上面這個例子表明, 雖然有時候函數的顯示表達式比較難求, 從而導緻像域也很難

求, 但是值域有些時候還是比較容易看出來的.

考慮兩個映射 f : A → B 和 g : B → C.

(1) 對任意給定的 A 的子集 A0, 定義f 在 A_0 上的限制 ( restriction) 為映射

f|A_0 = f : A_0 → B.

(2) f 和 g 的複合 (composition):

g ◦ f : A → C, a → c,

這裡 f(a) = b 和 g(b) = c 對某個 b ∈ B 成立.

顯然 g ◦ f 僅當 Im(f) ⊆ Dom(g) 時有定義. 注意到 f ◦ g 和 g ◦ f 一般是不相等, 比如,

f, g : R −→ R, f(x) := 3x^2 2, g(x) := 5x.

則 (f ◦ g)(x) = 75x^2 2 和 (g ◦ f)(x) = 15x^2 10.

給定映射 f : A → B.

(1) f 是單射 (injective) 如果

f(a) = f(a′ ) ⇒ a = a′.

(2) f 是滿射 (surjective) 如果

任意 b ∈ B 存在 a ∈ A 滿足 f(a) = b.

根據定義, 我們馬上可知此時 f 的像域就等于值域 B. 注意到, 上面的 a 可能不唯

一; 比如, 考察滿映射 f : R → [0, ∞), x 7→ f(x) = x2, 此時存在兩個數 1 和 −1 同

時滿足 f(1) = f(−1) = 1.

(3) f 是雙射 (bijective) 如果 f 既是單的又是滿的. 雙射的一個典型例子是 f : N → N∗,

x → f(x) := x 1, 這裡 N = {0, 1, 2, · · · } 是全體自然數, 而 N∗ = N \ {0} =

{1, 2, 3 · · · , } 是全體正整數. 乍一看, 我們把自然數集放到了它的真子集中, 感覺有

點不可思議! 這就是有限和無限的區别, 因為我們不肯能找到一個雙射從 {0, 1, 2, 3}

到 {1, 2, 3}!

(4) 若 f 是雙射, 我們定義其逆映射 (inverse) f ^{−1}: B → A 如下

f ^{−1}(b) = a ⇐⇒ f(a) = b.

我們來詳細說明下. 首先因為 f 是滿射, 所以對任何 b ∈ B 存在 a ∈ A 滿足 f(a) = b.

其次因為 f 是單射, 我們來證明這樣的 a 必是唯一的: 否則存在另一個 a′ ∈ A 滿足

f(a′ ) = b; 單射條件告訴我們 f(a) = b = f(a′) 必推出 a = a′. 既然 a 是唯一的, 那

麼我們定義 f ^{−1}(b) := a. 作為簡單練習, 可以驗證 f ◦ f ^{−1} = 1_B 和 f ^{-1} ◦ f = 1_A, 對

任何雙射 f : A → B 都成立.

(5) 給定映射 f : A → B. 如果存在映射 g : B → A 使得 g ◦ f = 1_A, 即 g(f(a)) = a 對

任何 a ∈ A, 成立, 則 f 必是單射. 事實上, 假如 f(a) = f(a′), 則根據假設條件得到

a = g(f(a)) = g(f(a′ )) = a′.

(6) 給定映射 f : A → B. 如果存在映射 h : B → A 使得 f ◦ h = 1_B, 即 f(h(b)) = b 對

任何 b ∈ B, 成立, 則 f 必是滿射. 事實上, 在滿射定義中, 我們可以取 a = h(b).

(7) 講單射、滿射或雙射, 一定要明确定義域和值域, 即, 一定要明确給出映射 f : A → B

中的三要素: f, A 以及 B. 就算 f 給定, 不同的 A 和 B 會給出不同的結果, 比如

給定映射 f : A → B 和子集 A_0 ⊆ A, B_0 ⊆ B.

(1) A0 在 f 下的像集 (image) ≡ f(A_0) := {f(a)|a ∈ A_0}. 顯然 f(A_0) ⊆ B.

(2) B0 在 f 下的原像集 (preimage) ≡ f ^{−1}(B_0) := {a|f(a) ∈ B_0}. 顯然 f ^{−1}(B_0) ⊆ A.

特别地, 如果 B = {b}, 則符号 f ^{−1}(b) := f ^{−1}({b}) 一般情形下不再是一個單元素

集; 如果 f 本身是雙射, 此時符号 f ^{−1}(b) 與之前的定義一樣. 比如考慮映射

f : R → R, x → f(x) = sin x,

則 f ^{−1} (1) = {x ∈ R|sin x = 1} = {x = 2kπ π/2|k ∈ Z}.

(3) 下列包含關系顯然成立:

A_0 ⊆ f ^{−1}(f(A_0)), B_0 ⊇ f(f ^{−1}(B_0)).

我們可以找到例子來說明上述包含關系可以嚴格取到, 即等号不一定成立:

f : R → R, x → 3x2 2

和 A_0 = [0, 1], B_0 = [0, 5]; 則得到

f ^{−1}(f(A_0)) = [−1, 1] ⊋ A_0, f(f ^{−1}(B_0)) = [2, 5] ⊊ B_0.

如果在映射定義中 B 是一個數域, 那麼我們把映射稱為函數 (function).

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