若四邊形abcd的對角線ac和bd相交-tft每日頭條

若四邊形abcd的對角線ac和bd相交

生活更新时间:2025-02-10 22:43:42

四邊形ABCD為圓内接四邊形，求證：AB•CD BC•AD=AC•BD

若四邊形abcd的對角線ac和bd相交（四邊形ABCD為圓内接四邊形）1

分析：這個題證法很多，我們今天隻須畫輔肋線，構造相似三角形，得到相似比，然後進行變換，下面給出證明。

證明，在BD上取一點，使角BAE等于角CAD

在三角形BAE和三角形CAD中，

角BAE=角CAD（做輔助線）

角ABE=角CAD（同弧所對的圓周角相等）

若四邊形abcd的對角線ac和bd相交（四邊形ABCD為圓内接四邊形）2

所以，三角形BAE 相似于三角形CAD（有二個角對應相等的兩個三角形全等）

所以AB：AC=BE:CD ①

即AB•CD=AC•BE

看下圖，在三角形ABC和三角形AED中，

角BCA=角BDA（周弧所對的圓周角相等）

角ABC=角BAE 角EAC

角EAD=角CAD 角EAC

若四邊形abcd的對角線ac和bd相交（四邊形ABCD為圓内接四邊形）3

由三角形BAE相似于三角形CAD，

得角BAE=角CAD（兩個相似三角形的對應角相等）

所以，三角形ABC 全等于三角形AED

BC:ED=AC:AD（相似三角形的對應邊成比例）

BC•AD=AC•ED ②

① ②

AB•CD BC•AD=AC(BE ED)

即AB•CD BC•AD=AC•BD

這個題到現在就證完了。

這是平面幾何著名的托勒密定理。有些幾個求線段長的問題，應用托勒密定理會變的很簡單、

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