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若四邊形abcd的對角線ac和bd相交

生活 更新时间:2024-08-25 07:24:51

四邊形ABCD為圓内接四邊形,求證:AB•CD BC•AD=AC•BD

若四邊形abcd的對角線ac和bd相交(四邊形ABCD為圓内接四邊形)1

分析:這個題證法很多,我們今天隻須畫輔肋線,構造相似三角形,得到相似比,然後進行變換,下面給出證明。

證明,在BD上取一點,使角BAE等于角CAD

在三角形BAE和三角形CAD中,

角BAE=角CAD(做輔助線)

角ABE=角CAD(同弧所對的圓周角相等)

若四邊形abcd的對角線ac和bd相交(四邊形ABCD為圓内接四邊形)2

所以,三角形BAE 相似于 三角形CAD(有二個角對應相等的兩個三角形全等)

所以AB:AC=BE:CD ①

即AB•CD=AC•BE

看下圖,在三角形ABC和三角形AED中,

角BCA=角BDA(周弧所對的圓周角相等)

角ABC=角BAE 角EAC

角EAD=角CAD 角EAC

若四邊形abcd的對角線ac和bd相交(四邊形ABCD為圓内接四邊形)3

由三角形BAE相似于三角形CAD,

得 角BAE=角CAD(兩個相似三角形的對應角相等)

所以,三角形ABC 全等于 三角形AED

BC:ED=AC:AD(相似三角形的對應邊成比例)

BC•AD=AC•ED ②

① ②

AB•CD BC•AD=AC(BE ED)

即AB•CD BC•AD=AC•BD

這個題到現在就證完了。

這是平面幾何著名的托勒密定理。有些幾個求線段長的問題,應用托勒密定理會變的很簡單、

你學會了?如有不理角的地方,歡迎評論區留言。

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