有一群好友若幹，每個好友都分别給其他好友握手一次，最後共握手1980次，請問這群好友共有多少人？

章末複習(一)　一元二次方程

01　　基礎題

知識點1　一元二次方程及其相關概念

1．(诏安模拟)已知m是方程x2－x－1＝0的一個根，則代數式m2－m的值等于(C)

A．－1 B．0 C．1 D．2

2．方程(a－2)xa2－2＋3x＝0是關于x的一元二次方程，則a的值為－2．

知識點2　一元二次方程的解法

3．(甯夏中考)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(D)

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2

4．(随州中考)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列變形正确的是(D)

A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36

C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋9

5．(深圳校級模拟)一元二次方程4x2－x＝1的解是(D)

A．x＝0 B．x1＝0，x2＝4

C．x1＝0，x2＝ D．x1＝，x2＝

6．解下列一元二次方程：

(1)(2x＋3)2－81＝0；

解：(2x＋3)2＝81.

x1＝3，x2＝－6.

(2)x2－6x－2＝0；

解：(x－3)2＝11.

x1＝3＋，x2＝3－.

(3)5x(3x＋2)＝6x＋4.

解：(3x＋2)(5x－2)＝0.

x1＝－，x2＝.

知識點3　一元二次方程根的判别式及根與系數的關系

7．(湘西中考)下列方程中，沒有實數根的是(B)

A．x2－4x＋4＝0 B．x2－2x＋5＝0

C．x2－2x＝0 D．x2－2x－3＝0

8．(張家界中考)若關于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有實數根，則k的非負整數值是(A)

A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3

9．(懷化中考)設x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的兩個根，則x＋x的值是(C)

A．19 B．25 C．31 D．30

知識點4　用一元二次方程解決實際問題

10．一個QQ群裡共有x個好友，每個好友都分别給群裡的其他好友發一條信息，共發信息1 980條，則可列方程(B)

A.x(x－1)＝1 980 B．x(x－1)＝1 980

C.x(x＋1)＝1 980 D．x(x＋1)＝1 980

11．(東營中考改編)2015年東營市某樓盤以每平方米6 500元的均價對外銷售．因為樓盤滞銷，房地産開發商為了加快資金周轉，決定進行降價促銷，經過連續兩年下調後，2017年的均價為每平方米5 265元．

(1)求平均每年下調的百分率；

(2)假設2018年的均價仍然下調相同的百分率，張強準備購買一套100平方米的住房，他持有現金20萬元，可以在銀行貸款30萬元，張強的願望能否實現？(房價每平方米按照均價計算)

解：(1)設平均每年下調的百分率為x，根據題意，得6 500(1－x)2＝5 265.

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合題意，舍去)．

答：平均每年下調的百分率為10%.

(2)如果下調的百分率相同，2018年的房價為

5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/平方米)．

則100平方米的住房的總房款為100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(萬元)．

∵20＋30＞47.385，∴張強的願望可以實現．

02　　中檔題

12．(安順中考)三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2－12x＋35＝0的根，則該三角形的周長為(B)

A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不對

13．(安順中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0無實數根，則一次函數y＝(m＋1)x＋m－1的圖象不經過第象限(D)

A．四 B．三 C．二 D．一

14．已知x＝1是關于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，則常數k的值為0或1．

15．(日照中考)如果m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2－m＝3，n2－n＝3，那麼代數式2n2－mn＋2m＋2 015＝2_026．

16．(南充中考)已知關于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有實數根．

(1)求m的取值範圍；

(2)如果方程的兩個實數根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值範圍．

解：(1)根據題意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，

解得m≤4.

(2)根據題意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，

而2x1x2＋x1＋x2≥20，

所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，

而m≤4，

所以m的範圍為3≤m≤4.

17．小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經理給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那麼每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元．按此優惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元．請問她購買了多少件這種服裝？

解：設購買了x件這種服裝，根據題意，得

[80－2(x－10)]x＝1 200，解得x1＝20，x2＝30.

當x＝30時，80－2×(30－10)＝40(元)＜50元，不合題意，舍去．

∴x＝20.

答：她購買了20件這種服裝．

18．閱讀下面例題的解答過程：

解方程：3(x－2)2＋7(x－2)＋4＝0.

解：設x－2＝y，則原方程化為3y2＋7y＋4＝0.

∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1.

∴y＝＝.∴y1＝－1，y2＝－.

當y＝－1時，x－2＝－1，∴x＝1；

當y＝－時，x－2＝－，∴x＝.

∴原方程的解為x1＝1，x2＝.

請仿照上面的例題解一元二次方程：2(x－3)2－5(x－3)－7＝0.

解：設x－3＝y.則原方程化為2y2－5y－7＝0.

∵a＝2，b＝－5，c＝－7，

∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－7)＝81.

∴y＝＝.∴y1＝－1，y2＝.

當y＝－1時，x－3＝－1，∴x＝2；

當y＝時，x－3＝，∴x＝.

∴原方程的解為x1＝2，x2＝.

03　　綜合題

19．某學校計劃利用一片空地建一個學生自行車車棚，其中一面靠牆，這堵牆的長度為12米．計劃建造車棚的面積為80平方米，已知現有的木闆材料可使新建闆牆的總長為26米．

(1)為了方便學生出行，學校決定在與牆平行的一面開一個2米寬的門，那麼這個車棚的長和寬分别應為多少米？

(2)如圖，為了方便學生取車，施工單位決定在車棚内修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為54平方米，那麼小路的寬度是多少米？

解：(1)設垂直于牆的一面長為x米，平行于牆的一面長為(26＋2－2x)米，由題意，得

x(26＋2－2x)＝80，

整理，得x2－14x＋40＝0，解得x1＝4，x2＝10.

當x1＝4時，26＋2－2x＝28－8＝20>12，不合題意，舍去；

當x2＝10時，26＋2－2x＝28－20＝8<12，符合題意．

答：垂直于牆的一面長為10米，平行于牆的一面長為8米．

(2)設小路的寬度為a米，由題意，得

(10－a)(8－2a)＝54.

整理，得a2－14a＋13＝0，解得a1＝13，a2＝1.

經檢驗：a2＝1符合題意．

答：小路的寬度為1米．

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