三角形的三個内角和是多少？也許很多人會不假思索地回答：180°。
這個答案作為一個不容置疑的公理伴随了我們整個小學和中學生涯。當我們還在捧着這個公理，認為其放之四海甚至是宇宙都可能皆準的時候，那些學術界的大神的研究已經遠遠超出了我們的想象，也許很多人都不知道這個世界上還存在三個内角和不等于180°，但這些學術大神已經通過研究證明，這種三角形确實存在，而且還是在我們生活的地球上。
再舉一個例子：
拿出世界地圖，在上海和巴黎間畫條直線。 如果你沿這條線走，會發現自己繞了遠路。 先北上再南下，途徑莫斯科的線竟然更短。
也就是說兩點之間，不是線段最短。
從古希臘時代到公元1800年間，許多數學家都嘗試用歐幾裡得幾何中的其他公理來證明歐幾裡得的平行公理，但是結果都歸于失敗。19世紀，德國數學家高斯、俄國數學家羅巴切夫斯基、匈牙利數學家波爾約等人各自獨立地認識到這種證明是不可能的。也就是說，平行公理是獨立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”來替代它。高斯關于非歐幾何的信件和筆記在他生前一直沒有公開發表，隻是在他1885年去世後出版時才引起人們的注意。
羅巴切夫斯基是從1815年着手研究平行線理論的。開始他也是循着前人的思路，試圖給出第五公設的證明。在保存下來的他的學生聽課筆記中，就記有他在1816～1817學年度在幾何教學中給出的一些證明。可是，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。
前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明。于是，他便調轉思路，着手尋求第五公設不可證的解答。這是一個全新的，也是與傳統思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿着這個途徑，在試證第五公設不可證的過程中發現了一個嶄新的幾何世界。
繼羅氏幾何後，德國數學家黎曼在1854年又提出了既不是歐氏幾何也不是羅氏幾何的新的非歐幾何。這種幾何采用如下公理替代歐幾裡得平行公理：同一平面上的任何兩直線一定相交。同時，還對歐氏幾何的其他公理做了部分改動。在這種幾何裡，三角形的内角和大于兩直角。人們把這種幾何稱為橢圓幾何。
直到1866年，意大利數學家貝爾特拉米在他出版的《非歐幾何解釋的嘗試》中，證明了非歐平面幾何可以局部地在歐氏空間中實現。1871年，德國數學家克萊因認識到從射影幾何中可以推導度量幾何，并建立了非歐幾何模型。這樣，非歐幾何的相容性問題就歸結為歐氏幾何的相容性問題，由此非歐幾何得到了普遍的承認。
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