初學微積分，最繞不過去的當然是導數了。我們試着百度了一下導數，得到下面的定義：

當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。

也有同學是從物理學角度了解微積分的，說對于一個s-t位移方程式，導數就是速度，二階導數就是加速度。跟上面的定義差不多，都是極限值。

有同學總是習慣将微積分與“動态”、“極限”這樣的字眼聯系在一起，在腦海中烙下“結果極限近似”的誤解。其實，很多時候我們隻是用極限的方法去理解和證明它，結果不見得都是極限近似。比如微分集合與積分差就是曲線在不同空間維度上的互逆轉換，它是完全等價的，導數也一樣。

先看一個簡單函數的求導數過程，以函數f(x)=x^2為例：

之所以說導數是極限近似的，是不是因為那個略去的無窮小Δx?

下面我們做一個不嚴謹的假定，假定0是可以被除的，重要的事情說三遍：假定！假定！假定！

在曲線y=x^2上取任一點對應x。

我們就停留在這個點上求導數，不論向左還是向右，它在平面坐标軸上的變化都為0，那麼：

結果是不是一樣的？連極限運算都不用了吧。

通過以“0可以被除”的假定為前提的求導過程，我們可以這樣理解：

對于一段連續的函數曲線f（x，y）=0，可以把任一點的空間狀态拿出來單獨描述，這一描述就是導數f'(x)，如果需要對這個點進行量化，就賦予它一個無窮小的自變量Δx，結果就是微分f'(x)Δx。導數f'(x)和微分f'(x)Δx是曲線上任一點的一體兩面，一個用來描述狀态，一個用來量化尺度。

當然，如果Δx不是無窮小，微分f'(x)Δx也可以量化曲線的變化尺度，我們後面再講。

對f（x，y）=0，做一下補充說明。把y=x^2變換一下形式，得x^2-y=0，就得到f（x，y）=0，可知道它是一條曲線。如果f（x，y）≠0，x^2-y=z，再變換一下x^2-y-z=0，就得到f（x，y，z）=0，可知道它是一個曲面。依次類推，f（x，y，z，w）=0就是一個曲體，f（x，y，z，w，v）=0就是一個超曲體等等。

那麼導函數是怎麼回事呢？就像你觀察一個原子内部，發現裡面還藏着一個小宇宙一樣，在一個曲線空間的點上，開拓一個新的曲線空間。求高階導數呢，就是一層層嵌套的曲線空間，直至開拓出一個常數空間，導數才歸0，不能繼續向下開拓。

偏導數理解起來可能要難一點點，但道理是相同的，無論對曲面、曲體還是超曲體求導都是要壓縮掉一個空間維度。

以對一個曲面f（x，y，z）=0求導為例，壓縮掉一個空間維度就是要描述曲面上每一條曲線的空間狀态。因為曲面有兩個方向的自變量x和y，相當于取曲面上橫豎垂直交叉的兩條曲線，我們先視其中一個方向的自變量為常數，然後對這兩條線分别求導。

例如曲面函數z=x^2*y^2（它的曲面差不多相當于一個窄口高杯子），對其求偏導數得：

我們前面講了，對曲線求導得到的是點的空間狀态。但當x或y作為常數布滿整個定義域區間時，這些點就連成一條線了，所以曲面函數的偏導數是對x，y兩個方向上曲線的空間狀态的描述。

于是，曲面函數的全微分的表述就要考慮為兩個方向的微分之和：

如果再增加一個自變量，對一個曲體w=x^2*y^2*z^2求導，用圖形就沒法描述了，但求導方法是一樣的：

它的全微分：

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