幾何圖形的變化與探究問題是中考必考題型，解題時應對題型中的變化的條件進行分析，把握原有圖形的特點，探究變化的條件的特點，借用類比思想逐步解題，一般情況下，每問采取的方法步驟基本相同，這類題目往往是數形結合、轉化、從一般到特殊等數學思想的綜合．按照題目的層層推進，找到适當的解題思路，問題即可解決．此類問題類比遷移思想的把握是解決問題的關鍵，第一問和第二問抽取出的思想方法是否能運用到第三問中．一般解決問題的思維模式是對題型中的變量過程進行分析，把握原有圖形的特點，探究變化量的特點，借用類比思想逐步解題，一般情況下，每問采取的方法步驟基本相同，這類題目往往是數形結合思想､轉化､從一般到特殊､類比思想和方程思想的綜合運用，要将各種情形逐一分析，避免出錯．

類型1 直線型問題

角度1 ：直線型問題的計算與證明

例1．（2018遼甯沈陽中考題）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，點M在邊AC上，點N在邊BC上（點M、點N不與所在線段端點重合），BN＝AM，連接AN，BM．射線AG∥BC，延長BM交射線AG于點D，點E在直線AN上，且AE＝DE．

（1）如圖，當∠ACB＝90°時：

①求證：△BCM≌△CAN；

②求∠BDE的度數；

（2）當∠ACB＝α，其它條件不變時，∠BDE的度數是 （用含α的代數式表示）；

（3）若△ABC是等邊三角形，AB＝3√3，點N是BC邊上的三等分點，直線ED與直線BC交于點F，請直接寫出線段CF的長．

【分析】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形與等邊三角形的性質、平行線的性質、相似三角形的性質與判定、勾股定理及分類讨論思想等内容，解題的關鍵是構造符合題意的圖形，利用相似三角形等知識解決問題．

（1）①由CA＝CB，BN＝AM，得CN＝CM，由"邊角邊"即可證明△BCM≌△CAN．②由△BCM≌△CAN可知：∠MBC＝∠NAC．由AE＝DE可知：∠EAD＝∠EDA． 故由AG∥BC可知：∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC．進而通過等量代換得∠BDE＝∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD＝180°－90°＝90°．（2）當α＝90°時，∠BDE的度數是90°，求法同（1）②；當α≠90°時，∠BDE的度數是180°－α，∠BDE＝∠ADB＋∠EDA＝∠ANC＋∠NAC＝180°－∠ACN＝180°－α，即可求得．（3）分兩種情況，按三步走：先畫圖，再找解題思路，最後通過幾何知識即可鎖定答案（祥見解題過程）．

【解答】（1）①∵CA＝CB，BN＝AM，

∴CB－BN＝CA－AM，即CN＝CM．

又∵∠ACB＝∠ACB，BC＝CA，∴△BCM≌△ACN．

②∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC．

∵ EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA．

∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC．

∴∠ADB＝∠NAC． ∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD．

∵∠ADB＋∠EDA＝180°－90°＝90°， ∴∠BDE＝90°．

（2）當α＝90°時，∠BDE＝α，同（1）②可求．

當α≠90°時，如答圖2，由（1）知：△BCM≌△ACN，∠MBC＝∠NAC．

又∵AG∥BC，AE＝DE，∴∠EAD＝∠ANC＝∠EDA．

∴∠BDE＝∠ADB＋∠EDA＝∠ANC＋∠NAC＝180°－∠ACN＝180°－α．

故∠BDE的度數是α或180°－α．

（3）分兩種情況：①如答圖3，作AH⊥BC于點H．

∵△ABC是等邊三角形，AB＝3√3，點N是BC邊上的三等分點，

∴BN＝√3，CN＝2√3．

又∵在等邊△ABC中，AH⊥BC，∴BH＝3√3/2，NH＝BH－BN＝√3/2．

∵點N是BC邊上的三等分點，△ABC是等邊三角形，AB＝3√3，

∴AM＝BN＝√3．

∵AG∥BC，∴△ADM∽△CBM．

∴AD/BC=AM/CM=1/2，從而AD＝1/2×3√3=3√3/2＝CH．

∴AD與CH平行且相等，于是四邊形AHCD是矩形，從而DC⊥BC于點C．

∵△ADE是等腰三角形，且AD∥BC，

∴△NFE為等腰三角形．∴∠ANH＝∠DFC．

又∵∠AHN＝∠DCF，AN＝EN－AE＝EF－ED＝DF，

∴△ANH≌△DFC． ∴CF＝NH＝√3/2．

②如答圖4，作AH⊥BC于點H，EK⊥AD于點K，

∵△ABC是等邊三角形，AB＝3√3，點N是BC邊上的三等分點，BN＝AM，

∴BN＝AM＝2√3，CN＝CM＝√3，AH＝PK＝9/2，且易知BH＝CH＝√3/2．

∴NH＝CH－CN＝√3/2．

∵AH⊥BC，EK⊥AD，AH∥EK，

∴∠HAN＝∠KEA，∠AHN＝∠EKA．

∴△ANH∽△EAK．∴AH/HN=EK/AK．

又∵AG∥BC，∴△ADM∽△CBM．

∴AD/CB=AM/CM．∴AD＝6√3，從而AK＝DK＝3√3．

∴EK＝AH·AK/HN＝27．∴EP＝EK－PK＝45/2．

∵AG∥BC，∴FN/AD=EP/EK．∴FN＝AD·EP/EK＝5√3．∴CF＝FN－CN＝4√3．

綜上所述，線段CF的長為√3/2或4√3．

【方法規律】本題系幾何壓軸題，既考查了等邊三角形、等腰三角形，又考查了直角三角形、相似三角形等知識，由易到難，設置了證明全等三角形、運用平行線性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、相似三角形的性質與判定、矩形的判定等幾何核心知識點的基礎題，又考查了動态問題、探究問題等，解題時應逐一解決，綜合利用幾何知識尋找解題思路．

此類問題類比遷移思想的把握是解決問題的關鍵，第一問和第二問抽取出的思想方法是否能運用到第三問中．一般解決問題的思維模式是對題型中的變量過程進行分析，把握原有圖形的特點，探究變化量的特點，借用類比思想逐步解題，一般情況下，每問采取的方法步驟基本相同，這類題目往往是數形結合思想、轉化、從一般到特殊、類比思想和方程思想的綜合運用.

視角2：直線型問題的變化與探究

例2．（2018湖南郴州中考題）在矩形ABCD中，AD＞AB，點P是CD邊上的任意一點（不含C，D兩端點），過點P作PF∥BC，交對角線BD于點F.

（1）如圖1，将△PDE沿對角線BD翻折得到△QDF，QF交AD于點E.求證：△DEF是等腰三角形；

（2）如圖2，将△PDF繞點D逆時針方向旋轉得到△P′DF′，連接P′C，F′B，設旋轉角為α（0°＜α＜180°）

①若0°＜α＜∠BDC，即DF′在∠BDC内部時，求證：△DP′C～△DF′B；

②如圖3,若點P是CD的中點，△DF′B能否為直角三角形？如果能，試求出此時tan∠DBF′的值，如果不能，請說明理由.

【分析】（1）首先利用平行公理及矩形的性質推出PF∥AD，從而判斷出∠ADB與∠DFP的關系，再聯系軸對稱的性質得到∠ADB=∠DFE，便可得出△DEF是等腰三角形；

（2）①由旋轉的性質得出相關線段、角的相等關系，根據平行線分線段對應成比例，代換得出DP′/DC= DF′/DB，由"對應邊成比例及夾角相等"即可證得結論；②△DF′B為直角三角形時，可能會出現兩種情形：∠DF′B=90°或∠B DF′=90°，結合旋轉的性質，将要求的角轉化到Rt△DP′C中，問題便得到解決.

【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∵PF∥BC，∴PF∥AD，∴∠ADB=∠DFP，∵将△PDE沿對角線BD翻折得到△QDF，∴∠DFE=∠DFP，∴∠ADB=∠DFE，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；

（2）①∵PF∥BC，∴DP/DC=DF/DB，∵△PDF繞點D逆時針方向旋轉得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，DF=DF′，∴DP′/DC= DF′/DB，∴△DP′C～△DF′B；

②由①知，△DP′C～△DF′B，∴∠DBF′=∠DCP′，∵點P是CD的中點，∴DP=1/2DC，

∵△PDF繞點D逆時針方向旋轉得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，∠DF′B=∠DP′C，

當∠DF′B=90°時，有∠DP′C =90°，∴DP=DP′=1/2DC，∴∠ P′CD =30°，

故tan∠DBF′=tan∠DCP′=tan30°=√3/3；當∠B DF′=90°時，有∠C DP′=90°，

∴DP=DP′=1/2DC，故tan∠DBF′=tan∠DCP′=1/2.

【解後反思】解決圖形變換類試題的基本方法是采用類比思想進行探究．一般情況下，變換前後的圖形中具有相同或相似的結論，而且證明結論的方法也是相同或相似的，所以從第一個基本圖形中找出正确結論及其證明方法就顯得十分重要，這是解決後續問題的基礎．

類型2 與圓有關的問題

角度1：與圓有關的計算與證明

例3．（2018山東煙台中考題）如圖，已知D，E分别為△ABC的邊AB，BC上兩點，點A，C，E在⊙D上，點B，D在⊙E上，F為弧BD上一點，連接FE并延長交AC的延長線于點N，交AB于點M．

（1）若∠EBD為α，請将∠CAD用含α的代數式表示；

（2）若EM＝MB，請說明當∠CAD為多少度時，直線EF為⊙D的切線；

（3）在（2）的條件下，若AD＝√3，求MN/MF的值．

【分析】（1）連接CD、ED，利用兩次"等腰三角形的底角相等"，以及"三角形的外角等于和它不相鄰的兩個内角的和"即可求解；（2）根據切線的性質，DE⊥EF，則∠2＋∠5＝90°，而∠2＝2α，∠5＝α，∴∠ADC＝3α＝90°得到α值代入（1）結論即可求解；（3）由（2）可推出，∠ABF＝45°＝∠CAD，∴AN∥BF，∴MN/MF=AM/BM，然後由AD＝√3,求出AM和BM的值代入即可．

【解答】（1）連接CD、ED，

∴∠1＝∠EBD＝α，∴∠2＝∠1＋∠B＝2α．

∵DC＝DE，∴∠2＝∠3＝2α，

∴∠CDA＝∠3＋∠EBD ＝3α．

（2）∵EM＝BM，∴∠4＝∠EBD＝α．

∵∠4＝∠5，∴∠5＝α，若EF為⊙D的切線，則∠2＋∠5＝90°．

由（1）知，∠2＝2α，∴α＋2α＝90°，

（3）在（2）條件下，∠DEF＝90°，∴∠DBF＝45°＝∠CAD，

∴AN∥BF，∴MN/MF=AM/BM．

由（2）知，∠ADC＝3α＝90°，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝√3．

∵∠EBD＝α＝30°，∠BDC＝90°，∴BD＝√3CD＝3．

∵∠1＝30°，∠DEF＝90°，∴DM＝2EM＝2MB，

【方法規律】在圓中，看到直徑聯想90°的圓周角，反之，亦然；直線與圓的位置關系最重要的當屬直線與圓相切，判定圓的切線常見思路：①若已知直線與圓的公共點，則采用判定定理法，其基本思路是：當已知點在圓上時，連接過這點的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：有切點，連半徑，證垂直；②若未知直線與圓的交點，則采用數量關系法，其基本思路是：過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓的半徑，可簡述為：無切點，作垂線，證相等．

視角2：與圓有關的變化與探究

例4．（2018浙江台州中考題）如圖，ΔABC是⊙O的内接三角形，點D在弧BC上，點E在弦AB

上（E不與A重合），且四邊形BDCE為菱形．

（1）求證：AC=CE；

（2）求證：BC²-AC²=AB·AC；

（3）已知⊙O的半徑為3．

①若AB/AC=5/3，求BC的長；

②當AB/AC為何值時，AB·AC的值最大？

【分析】（1）利用菱形的性質"菱形的對角線平分每一組對角"可以得到∠EBC=∠DBC，然後通過圓周角定理得到AC=CD，又因為CD=CE，等量代換可得AC=CE.（2）延長BA到點F，使AF=AC，連接FC，通過證明ΔBCE∽ΔBCF即可得證.（3）①連接ED，交BC于點H，連接OB，通過構造直角三角形以及利用菱形的性質即可求解.②通過設AB/AC=x，從而表示出AB=AC·x，然後通過勾股定理求出AC，建立關于x的二次函數，通過配方法求出二次函數的最值，x的值也就是AB/AC的值，也就得到了所求的問題.

【解答】（1）∵四邊形BDCE是菱形，∴∠EBC=∠DBC，CD=CE，

∴弧AC =弧CD，∴AC=CD，∴AC=CE

（2）如圖所示，延長BA到點F，使AF=AC，連接FC，

∵AC=CE，∴∠CEA=∠CAE，∴∠BEC=∠CAF

∵BE=CE，AC=AF，∴∠EBC=∠ECB=∠ACF=∠F，∴ΔBCE∽ΔBCF

∴BC/BE=CE/BC，即BC²=CE·BF.

∵AC=CE，AC=AF，∴BC²=CE·BF= AC（AB AF）= AC（AB AC）=AC ² AB·AC,

∴BC ²-AC ²=AB·AC.

（3）①如圖所示：

連接ED，交BC于點H，連接OB

由AB/AC=5/3得AB=5AC/3，∵BC ²-AC ²=AB·AC，

∴BC ²=8AC ²/ 3，∴BC=2√6/3 AC，

∵四邊形BDCE是菱形，∴ED⊥BC，BH=CH，即ED是BC的垂直平分線，

∵點O是外心，∴點O在ED上，∵BH=1/2BC，∴BH=√6AC/3，

設AC=3k，BH=√6k，則BD=CE=AC=3k，

∵四邊形BDCE是菱形，∴BD=CE=AC

【方法規律】此類題目的主要考查形式是有關圓的綜合題．解決此類題目常用的方法将圓的有關性質定理和菱形的性質聯系起來，通過添加輔助線構造相似三角形，再結合二次函數的知識讨論最值情況．在圓中求線段的長度時，通常利用勾股定理或利用三角形相似求解.三角形相似通常與方程思想聯袂出場，根據對應邊成比例列出方程從而求得線段的長.另外，定要熟悉常用的基本圖形和基本數量關系，有利于把問題向熟悉的方向轉化.

對于問題（2）的解決思路通常是将其整理成b ²=ac的形式，然後通過添加輔助線構造相似三角形解決；根據探究量的形式聯想到勾股定理，從而構造直角三角形是解決問題的突破口．另外，注意"幾何直觀"，合情推理與演繹推理的有機結合，常常能給我們指明思考的方向與切入點，收到事半功倍之效．對于幾何題中的最值問題，除了用幾何知識"兩點之間線段最短"、"垂線段最短"等去解決之外，也可以建立函數關系，利用二次函數去解決．

【一題多解】

（2）以點C為圓心，CE長為半徑作⊙C，與BC交于點F，于BC延長線交于點G，則CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四邊形AEFG是⊙C的内接四邊形，∴∠G ∠AEF=180°，

又∵∠AEF ∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，

∴BE/BF=BG/BA

∴（BC﹣AC）（BC AC）=AB•AC，即BC ²﹣AC ²=AB•AC；

總之，幾何綜合大題一般都符合由淺入深層層深入的規律，所以在逐步解答時要注意前後呼應，思路的延續性和方法的連貫性，注意前面題目對後一道題目的啟發和鋪墊作用。

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