#頭條創作挑戰賽#

高中數學基礎知識非常重要，但是有一些題目卻不一定要用到這些基礎知識，而是可以選擇更簡便的方法，特别常見于選擇題。比如下面這道2022年新高考數學全國卷II，關于三角函數公式的選擇題。當然可以利用幾個常用的三角函數公式來解決，但也可以繞開這些公式，解決起來會更簡便。

若sin(α β) cos(α β)=2√2cos(α π/4)sinβ, 則

A. tan(α β)=-1；B. tan(α β)=1;C. tan(α-β)=-1；D. tan(α-β)=1.

分析：這道題當然是有速解的方法的，但是老黃擔心你聽完速解的方法，就不管一般的方法了，所以決定先講一般的解法，基礎紮實才是王道啊。

一個角的正弦與餘弦的和，可以化為這個角與四分之π的和的正弦函數的√2倍，這個公式一定要記牢哦。

如果是sina cosa=√2sin(a π/4)的形式，可能更多人容易接受，但這裡的角卻是“α β”，有些小夥伴可能就會适應不了了。

然後把等式右邊的正弦看作兩角和的正弦，一個角是α π/4，另一個角是β。運用“和的正弦公式”展開，就可以得到√2sin(α π/4)cosβ √2cos(α π/4)sinβ=2√2cos(α π/4)sinβ.

現在等式兩邊有同類項，進行移項合并，并且可以選擇約掉系數√2，得到：sin(α π/4)cosβ-cos(α π/4)sinβ=0.

不過留着√2也不是沒用的。現在運用兩角差的正弦公式的逆公式，可以得到sin(α-β π/4)=0.

觀察這個式子，有沒有發現，它是第一步的一個逆過程，即可以轉化為同一個角的正弦和餘弦的和的形式，隻不過這次這個角變成了“α-β”，而不是“α β”了。

即sin(α-β) cos(α-β)=0,從而可知，α-β的正弦和餘弦互為相反數。因此有tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-1, 選C.

整個解題過程其實是對稱的，感覺還是相當解壓的。不過這種解法很容易引來網友的吐槽，因為聰明的人太多，他們一眼就能看出，老黃的這個解法太過拖沓。隻要運用“特值法”，這道題就可以輕松地解決。聰明人是不會為老黃這樣的笨人考慮一下的。下面老黃就給有需要的小夥伴們介紹速解的方法。

隻要取β=0，那麼就有sinα cosα=0, 再取α=-π/4, 從而tan(α β)=-1，tan(α-β)=-1;，這樣就可以排除B、D選項。但卻不能肯定C是正确的。因為想要否定一件事情，隻需一個特例就足夠了。但想要證明一件事情，一個特例卻并不足夠。

其中β是任取的，隻要取一個适合運算的值就可以了，而α并不是任取的，因為一個周期内，有兩個α滿足正弦和餘弦相反的條件。從而在每個周期中都有符合條件的α，這樣的α有無窮個，我們隻要取一個符合條件，且方便我們運算的就可以了。

再取α=０，同樣是任取的。那麼就有sinβ cosβ=2sinβ, 可化得sinβ=cosβ，從而可以在無數個滿足條件的β中取β=π/4, 則tan(α β)=1，排除A. 選C. 雖然理論上我們并沒有證明C是正确的，但也沒有确定它是錯誤的。而A，B，D已經确定錯誤，除非題目沒有正确的選項，否則就隻能選C。

嚴格來說，這種方法不能稱為簡便解法，因為它其實是不嚴謹的。實際上它是探究問題的一種方法，但一般隻是探究問題整個過程中的一個部分，在考試中可以用來解決選擇或填空等小題，不能當作一種完整嚴謹的解法。你怎麼看呢？

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