我們知道f ' (x) = f(x)形式的微分方程的解是指數函數f(x) = Ce^x。因為f ' (x) = C(e^x) ' = Ce^x = f(x)。但如果我們不知道這個公式，怎麼能從零開始推導出來呢？我将展示這個推導過程的七個步驟。
第一步：
我們重寫函數f(x)求y = f(x)。為了明确我們對什麼函數求導，在這種情況下，y是x的函數，我們對x求導。
我們可以把微分方程f ' (x) = f(x)寫成dy/dx = y
重寫為
我們的目标是找到滿足dy/dx = y的函數。
第二步
有一種可能是y是常數函數，y = C，例如，y = 1, y =−100，等等。
兩邊同時微分x。
為了滿足dy/dx = y，y必須是y = 0。
因此，y = 0是微分方程dy/dx = y的一個解。
第三步：
從現在開始，我們将關注y≠0的情況。微分方程兩邊除以dy/dx = y（y≠ 0）
第四步：
兩邊關于x積分。
右邊的積分很簡單。C_1是一個積分常數。
第五步：
你可以用代換積分法對左邊積分。
一般來說，1/y的積分是這樣的。
因此，方程的左邊是這樣的。C是一個積分常數。
把C_2移到右邊。
讓C_3為 C_3= C_1−C_2，得到
第六步：
由于
而±e^C_3是一個常量，所以可以用另一個常數C≠0重寫，因為±e^C_3≠0。
得到y = C 'e ^x
第七步：
從上面的讨論中，我們似乎得到了兩種不同的解：
雖然在C '≠0的情況下，y = C ' ^x不等于y = 0。但是，如果我們用C '替換另一個任意常數C，它可以是C = 0，y = C ' ^x就是y = Ce^x。當C = 0時，y = Ce^x = y = 0。
通解y = Ce^x包含特解y = 0。因此，我們可以得出微分方程f ' (x) = f(x)的解是f(x) = Ce^x （C是任意常數）。
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