後天八卦及其來源在本人之前的文章《世事浮沉必有律——後天八卦的象征及意義》中有所提及，在此不再進行贅述。本篇文章主要将我發現的後天八卦與數學規律之間的關系給大家分享。

1、後天八卦中反映出來的世事節律

《說卦》中言：“帝出乎震，齊乎巽，相見乎離，緻役乎坤，說言乎兌，戰乎乾，勞乎坎，成言乎艮。萬物出乎震，震東方也。齊乎巽，巽東南也；齊也者，言萬物之絜齊也。離也者，明也，萬物皆相見，南方之卦也，聖人南面而聽天下，向明而治，蓋取諸此也。坤也者，地也，萬物皆緻養焉，故曰：緻役乎坤。兌，正秋也，萬物之所說也，故曰：說言乎兌。戰乎乾，乾西北之卦也，言陰陽相薄也。坎者水也，正北方之卦也，勞卦也，萬物之所歸也，故曰：勞乎坎。艮，東北之卦也。萬物之所成終而成始也，故曰：成言乎艮。”

清華大學崔國文教授在講解後天八卦時對其解釋為：“帝出乎震，未來的帝王要從震卦出發去謀取天下；齊乎巽，指的是在巽卦集結軍隊；相見乎離指的是部隊和部隊相見彼此熟悉；緻役乎坤，是指在坤卦勞動幹活收割糧食以及準備糧草；說言乎兌，是指在兌卦就已完成對糧草的準備工作；戰乎乾，則為在乾卦進行交戰；勞乎坎，指的是在坎卦得勝後犒勞軍隊（慶功宴）；成言乎艮，指的是在艮卦建立新政權”。而且崔國文教授還說後天八卦和農業周期有着密切關系。這裡其實指的是農業節氣或是說地球圍繞太陽公轉一周對地球産生的影響與後天八卦之間的密切聯系，如下圖：

後天八卦

後天八卦與節氣

同時《說卦》中也對後天八卦中的八個卦進行了形象的描述：動萬物者莫疾乎雷（震），撓萬物者莫疾乎風（巽），躁萬物者莫盛乎火（離），說萬物者莫說乎澤（兌），潤萬物者莫潤乎水（坎），終萬物始萬物者莫盛乎山（艮）。其中震表動之迅猛，巽表持續的作用，離表躁動升騰，兌表悅萬物，坎表潤下，艮表終始的交點，其中兌悅萬物即收獲之喜悅，而收獲又意味着農季的完結，學途的畢業，坎潤下即水性寒主靜。所以這與我之前的文章《世事浮沉必有律——後天八卦的象征及意義》對後天八卦取象意義中“震代表啟動，巽代表蓬勃發展，離代表盛極，坤代表收勢，兌代表關閉與終結，乾代表肅殺和消弭，坎代表衰極，艮代表百廢待興東山再起”的結論相一緻。

所以，以上的分析是将後天八卦按照：震-巽-離-坤-兌-乾-坎-艮；東-東南-南-西南-西-西北-北-東北的方向順時針排列的。在排列的過程中分别經過：啟動-蓬勃-盛極-收勢-關閉與終結-肅殺和消弭-衰極-東山再起這八個階段。是一個從平到高再轉衰進而跌至谷底，但最後又絕境重生的過程，這種從上到下再到上的趨勢不禁讓大家想起了某類數學關系——三角函數。

2、三角函數

三角函數是基本初等函數之一，是以角度/弧度制為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐标或其比值為因變量的函數。三角函數是研究周期性現象的基礎數學工具，常見的三角函數包括正弦函數（sin）、餘弦函數（cos）和正切函數（tan）。其中正弦函數和餘弦函數表現出了高低起伏的周期規律性，而正弦函數公式是直角三角形的對邊比斜邊，餘弦函數公式是直角三角形的臨邊比斜邊。

常見三角函數

三角函數中的正餘弦函數

在三角函數（這裡指正弦函數和餘弦函數）中表現出的y值随x值變化而不斷起伏的規律與後天八卦中各個卦象意義随着順時針排列後所表現出的“啟動-蓬勃-盛極-收勢-關閉與終結-肅殺和消弭-衰極-東山再起”的規律相似。同時三角函數也叫做圓函數，三角函數的來源與圓形有着密切關系，其中正弦函數和餘弦函數中斜邊為圓的半徑，對邊和臨邊分别為斜邊與圓交點的弦的一半和從圓心到此弦垂直平分線之間的線段。而後天八卦也是以圓為基礎将八個卦圍繞在圓周。所以二者之間的在數學來源的層面上就具有明顯的共通性。

單位圓與三角函數值之間的關系圖

我們将後天八卦的卦按照震-巽-離-坤-兌-乾-坎-艮（東-東南-南-西南-西-西北-北-東北）的方向順時針排列作為x軸的一個周期，其卦象中所表達的相對盛衰、陰陽和動靜等的意義作為y軸，就會得出正弦函數的圖像，其中每一個卦對應的x軸上的點均為最能代表此時函數特性的點（函數值或導數值此時最大最小或為0）。正意味着盛、陽、動與膨脹，負意味着衰、陰、靜與收縮。

當函數圖像中x=0時，函數值為0，但是變化率最快且趨勢為正，象征着震-雷（啟動；如雷一般劈開死寂，如電一般激發沉靜）。

當x=π/4時，函數值約為0.7，變化速率較快趨勢與函數本身均為正，象征着巽-風（正在蓬勃發展；風即為行動，乘風而上，步步高飛）。

當 x=2π/4時，函數值為1，此時函數值最大且為正，然而變化速率為0意味着鼎盛，象征離-火（盛極，極度升騰膨脹；如火般燃燒釋放，侵掠并擴張）。

當x=3π/4時，函數值約為0.7，變化速率開始加快但為負值，意味着勢力收縮，象征着坤-地（膨脹後的收勢；大地承載收納萬物，收與限的力量會抑制膨脹）。

當x=4π/4時，函數值為0，變化率最快且趨勢為負，象征着兌-澤（關閉與終結；池塘沼澤，淹沒與深陷就像收尾、熄滅一般）。

當x=5π/4時，函數值約為-0.7，變化速率較快趨勢與函數本身均為負，象征着乾-天（肅殺，不斷消弭；天法剛健不可動搖，如刀斬亂麻般消殺一切）。

當x=6π/4時，函數值為-1，此時函數值最小且為負，然而變化速率為0意味着跌落至谷底，象征着坎-水（衰極，極度靜止收縮；水寒冷、沉降、收縮）。

當x=7π/4時，函數值約為-0.7，變化速率開始加快但為正值，意味着頹勢的反轉，象征着艮-山（回轉之勢，百廢待興；山雖然為靜石，但始于深淵，終于高天，意為頹勢再起之意）。

x=8π/4又是震-雷，即進入了下一個循環。

正餘弦函數與後天八卦順時排列間的關系

如果我們将盛衰、陰陽和動靜的變化快慢的大小作為y軸，那我們就可以得出餘弦函數的圖像（即為剛才正弦函數的導數，用來表現函數值的變化速率大小）。

注意：

這裡關于坤、兌、乾的解釋可能在表面上與《說卦》中言不一緻，但是本文對此的解釋重在意的理解。緻役乎坤，表示士兵勞動用以準備糧草，準備糧草的動作需要人們勤于眼前腳下的一切，要收回一些不必要的膨脹，但是還是一種積極向上的狀态，其意便是雖然積極靈動但卻要适時收斂。說言乎兌，表示慶祝收獲的喜悅，收獲是圓滿結束，意味着完結，完結便是其意。戰乎乾，表示進行戰争，戰争中的殺伐會使盛世破碎，且是讓力量衰減的最佳方式，力量衰減，衰中繼續衰便是其意。

4、小結

後天八卦所言的“帝出乎震，齊乎巽，相見乎離，緻役乎坤，說言乎兌，戰乎乾，勞乎坎，成言乎艮“不僅是對軍政、人生乃至農業節氣規律變化的解釋，更是一種自然萬物的消長互變規律，在數理公式上與三角函數中的正餘弦函數的變化規律存在緊密關系，代表着萬事萬物”啟動-蓬勃-盛極-收勢-終結-肅殺-衰極-東山再起“的變化規律。而後天八卦與三角函數之間的相通性也說明了古人對宇宙自然的觀點是可以被現代科學所證實的，周易理論與數學等自然科學之間也是相互統一、殊途同歸的。

圓的正餘弦大小與八卦的對應

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