教學重點：二階常系數齊次線性微分方程的解法

教學過程：

一、二階常系數齊次線性微分方程

二階常系數齊次線性微分方程: 方程

y¢¢ py¢ qy=0

稱為二階常系數齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數.

如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解, 那麼y=C1y1 C2y2就是它的通解.

我們看看, 能否适當選取r, 使y=erx 滿足二階常系數齊次線性微分方程, 為此将y=erx代入方程

y¢¢ py¢ qy=0

得

(r 2 pr q)erx =0.

由此可見, 隻要r滿足代數方程r2 pr q=0, 函數y=erx就是微分方程的解.

特征方程: 方程r2 pr q=0叫做微分方程y¢¢ py¢ qy=0的特征方程. 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

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求出.

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(3)特征方程有一對共轭複根r1, 2=a±ib時, 函數y=e(a ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關的複數形式的解. 函數y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解.

函數y1=e(a ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得

y1=e(a ib)x=eax(cosbx isinbx),

y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),

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例2 求方程y¢¢ 2y¢ y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解.

解 所給方程的特征方程為

r2 2r 1=0, 即(r 1)2=0.

其根r1=r2=-1是兩個相等的實根, 因此所給微分方程的通解為

y=(C1 C2x)e-x.

将條件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 從而

y=(4 C2x)e-x.

将上式對x求導, 得

y¢=(C2-4-C2x)e-x.

再把條件y¢|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解為

x=(4 2x)e-x.

例 3 求微分方程y¢¢-2y¢ 5y= 0的通解.

解 所給方程的特征方程為

r2-2r 5=0.

特征方程的根為r1=1 2i, r2=1-2i, 是一對共轭複根,

因此所求通解為

y=ex(C1cos2x C2sin2x).

n 階常系數齊次線性微分方程: 方程

y(n) p1y(n-1) p2 y(n-2) × × × pn-1y¢ pny=0,

稱為n 階常系數齊次線性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常數.

二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去.

引入微分算子D, 及微分算子的n次多項式:

L(D)=Dn p1Dn-1 p2 Dn-2 × × × pn-1D pn,

則n階常系數齊次線性微分方程可記作

(Dn p1Dn-1 p2 Dn-2 × × × pn-1D pn)y=0或L(D)y=0.

注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y¢, D2y=y¢¢, D3y=y¢¢¢, × × ×,Dny=y(n).

分析: 令y=erx, 則

L(D)y=L(D)erx=(rn p1rn-1 p2 rn-2 × × × pn-1r pn)erx=L(r)erx.

因此如果r是多項式L(r)的根, 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解.

n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程:

L(r)=rn p1rn-1 p2 rn-2 × × × pn-1r pn=0

稱為微分方程L(D)y=0的特征方程.

特征方程的根與通解中項的對應:

單實根r 對應于一項: Cerx ;

一對單複根r1, 2=a ±ib 對應于兩項: eax(C1cosbx C2sinbx);

k重實根r對應于k項: erx(C1 C2x × × × Ck xk-1);

一對k 重複根r1, 2=a ±ib 對應于2k項:

eax[(C1 C2x × × × Ck xk-1)cosbx ( D1 D2x × × × Dk xk-1)sinbx].

例4 求方程y(4)-2y¢¢¢ 5y¢¢=0 的通解.

解 這裡的特征方程為

r4-2r3 5r2=0, 即r2(r2-2r 5)=0,

它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i.

因此所給微分方程的通解為

y=C1 C2x ex(C3cos2x C4sin2x).

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二、二階常系數非齊次線性微分方程簡介

二階常系數非齊次線性微分方程: 方程

y¢¢ py¢ qy=f(x)

稱為二階常系數非齊次線性微分方程, 其中p、q是常數.

二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程

的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y=y*(x)之和:

y=Y(x) y*(x).

當f(x)為兩種特殊形式時, 方程的特解的求法:

一、 f(x)=Pm(x)elx 型

當f(x)=Pm(x)elx時, 可以猜想, 方程的特解也應具有這種形式. 因此, 設特解形式為y*=Q(x)elx, 将其代入方程, 得等式

Q¢¢(x) (2l p)Q¢(x) (l2 pl q)Q(x)=Pm(x).

(1)如果l不是特征方程r2 pr q=0 的根, 則l2 pl q¹0. 要使上式成立, Q(x)應設為m 次多項式:

Qm(x)=b0xm b1xm-1 × × × bm-1x bm ,

通過比較等式兩邊同次項系數, 可确定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解

y*=Qm(x)elx.

(2)如果l是特征方程 r2 pr q=0 的單根, 則l2 pl q=0, 但2l p¹0, 要使等式

Q¢¢(x) (2l p)Q¢(x) (l2 pl q)Q(x)=Pm(x).

成立, Q(x)應設為m 1 次多項式:

Q(x)=xQm(x),

Qm(x)=b0xm b1xm-1 × × × bm-1x bm ,

通過比較等式兩邊同次項系數, 可确定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解

y*=xQm(x)elx.

(3)如果l是特征方程 r2 pr q=0的二重根, 則l2 pl q=0, 2l p=0, 要使等式

Q¢¢(x) (2l p)Q¢(x) (l2 pl q)Q(x)=Pm(x).

成立, Q(x)應設為m 2次多項式:

Q(x)=x2Qm(x),

Qm(x)=b0xm b1xm-1 × × × bm-1x bm ,

通過比較等式兩邊同次項系數, 可确定b0, b1, × × × , bm , 并得所求特解

y*=x2Qm(x)elx.

綜上所述, 我們有如下結論: 如果f(x)=Pm(x)elx, 則二階常系數非齊次線性微分方程y¢¢ py¢ qy =f(x)有形如

y*=xk Qm(x)elx

的特解, 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.

例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x 1的一個特解.

解 這是二階常系數非齊次線性微分方程, 且函數f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x 1, l=0).

與所給方程對應的齊次方程為

y¢¢-2y¢-3y=0,

它的特征方程為

r2-2r-3=0.

由于這裡l=0不是特征方程的根, 所以應設特解為

y*=b0x b1.

把它代入所給方程, 得

-3b0x-2b0-3b1=3x 1,

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提示:

y*=x(b0x b1)e2x=(b0x2 b1x)e2x,

[(b0x2 b1x)e2x]¢=[(2b0x b1) (b0x2 b1x)×2]e2x,

[(b0x2 b1x)e2x]¢¢=[2b0 2(2b0x b1)×2 (b0x2 b1x)×22]e2x.

y*¢¢-5y*¢ 6y*=[(b0x2 b1x)e2x]¢¢-5[(b0x2 b1x)e2x]¢ 6[(b0x2 b1x)e2x]

=[2b0 2(2b0x b1)×2 (b0x2 b1x)×22]e2x-5[(2b0x b1) (b0x2 b1x)×2]e2x 6(b0x2 b1x)e2x

=[2b0 4(2b0x b1)-5(2b0x b1)]e2x=[-2b0x 2b0-b1]e2x.

方程y¢¢ py¢ qy=elx[Pl (x)coswx Pn(x)sinwx]的特解形式

應用歐拉公式可得

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