在人們的印象中，烏龜是一種爬行速度很慢的動物。關于烏龜有一個耳熟能詳的寓言故事：龜兔賽跑，跑的特别快的兔子和特别慢的烏龜進行對比。大家都知道這則寓言的結果：烏龜赢了，因為兔子睡着了。
沒有多少人會真的認為烏龜是追不上的。可實際上，在公元前5世紀，有一位前輩思考這個問題。我們無從得知，這位前輩是不是吃飽了撐的，還是閑的沒事幹，或者腦子進水了，反正就是腦洞大開，給出了下面這樣一個案例：
“阿喀琉斯（古希臘神話中的英雄）與烏龜展開競賽，他的速度是烏龜的10倍，但是烏龜在他前面100米處出發。
當阿喀琉斯跑了100米時，烏龜已經跑了10米，仍然領先10米；
當阿喀琉斯再跑10米時，烏龜又跑了1米，仍然領先1米；
當阿喀琉斯再跑1米時，烏龜又跑了0.1米，仍然領先0.1米；
… …
10×10 10×1 10×0.1 10×0.01 10×0.001 …=10×（10 10/9）
當然，任何一名中學生都可以建立阿喀琉斯和烏龜的速度函數，或者在二維平面中用兩條直線相交求交點的方法，求出阿喀琉斯追上烏龜所需的時間和距離。
在這個答案中，可怕的無窮小數又出現了
但這完全是建立在“我們已知（或假設）阿喀琉斯能夠追上烏龜”這個前提下。而在長達2000多年的時間裡，學者們苦惱的是如何證明這個前提！比如上面那個無窮級數，我們對其進行四則運算求和，是因為我們知道他收斂，否則不能随意的将四則運算擴展到無窮範圍内。
再比如下面這個著名的交替級數的和，就有好幾種答案：
誰對誰錯？似乎都很有道理啊
為什麼會這樣，出現好幾種看起來都正确的答案？
有限範圍内的四則運算，擴展到無窮時，不一定适用。比如上面這個級數，計算順序的改變，會導緻結果不同；
有些計算，已經先假設了級數是收斂的，比如上面這個級數的第三種解答。如果S不存在、不收斂，不能做這樣的運算。
柯西在1821年着手研究，并逐步結束了這種混亂的局面。
無窮級數不一定收斂，即不一定等于某個确定的值；
在有限個數相加時，可以任意改變計算順序而答案不變。但是在無窮個數相加時，這一定律不适用。
進一步，柯西還給出了級數、數列的收斂條件和判定方法。可以說，是柯大爺把“無窮”這頭禍害了數學上千年的猛獸重新關進籠子。
Cauchy，Augustin Louis 1789-1857
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