老黃今天接到一個任務，要推導線面夾角的公式。本想上網搜一搜，看看别人是怎麼推導的，收集一點靈感。如果别人推導得好，老黃就重新編繹一下，把它講清楚，傳播開來，也算是一種功德。但結果卻大出老黃所料，網上竟沒有完整的線面夾角公式，這怎麼行？因此老黃決定靠自己的力量，把它推導出來，下回有人需要，就可以有個參考了。

先直接給結論：(由于老黃在向量方面的知識約等于0，如果有什麼不準确的地方，歡迎指正！)

線面夾角公式：sinθ=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|)=|mA nB pC|/根号((m^2 n^2 p^2)(A^2 B^2 C^2))，

其中，向量a是直線l：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p的一個方向向量，向量n是平面α：Ax By Cz D=0的一個法向量，θ是直線l和平面α的夾角. 由線面夾角的定義有：0<=θ<=π/2.

這裡其實是有兩個公式的，前面一個公式可以稱為“線面夾角的向量公式”，後面一個公式可以稱為“線面夾角的參數公式”。下面先證明向量公式。

如圖，已知點Q是直線l和平面α的交點， θ是l和α的夾角，直線PO⊥平面α交平面α于點O，交直線l于點P，則向量PO是平面α的法向量.

記向量a=向量PQ，向量n=向量PO，則cos(90度-θ)=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|)，

所以sinθ=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|). 向量公式得證！

再證參數公式：

已知平面α：Ax By Cz D=0，直線PQ：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p，求直線PQ和平面α的夾角θ.

解：記向量a=(m,n,p)，向量n=(A,B,C)，則

sinθ=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|)=|mA nB pC|/根号((m^2 n^2 p^2)(A^2 B^2 C^2)). 參數公式得證！

最後我們來做一個簡單應用：

例：已知平面α：2x-y z 1=0，直線PQ：(x-3)/2=-(y-2)=z 7，求直線PQ和平面α的夾角θ.

解：A=2，B=-1, C=1, m=2, n=-1, p=1.

sinθ=|mA nB pC|/根号((m^2 n^2 p^2)(A^2 B^2 C^2))=|4 1 1|/根号((4 1 1)(4 1 1))=1.

所以θ=π/2.

随便舉的例子，沒想到這條直線和平面竟是互相垂直的。有興趣您也可以自己舉一些例子，求一求線面的夾角。

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