作者 | 劉瑞祥
來源 |《數學賞析》
《幾何原本》第十卷涉及不可公度量,現有版本一共115個命題,差不多是全書1/4的命題量,又因為原著沒有采用現代數學通用的表達式,而是通過文字叙述的,所以給讀者理解這一卷造成很大難點。本文就是對其中的部分概念進行小結,希望能幫助大家理解。
其實,這一卷開始的一些命題還是容易理解的,但自從出現有理面、中項面等概念後,就越來越不容易理解了,而且原著裡的“有理線段”和現代的有理數也不一樣,都給我們理解這一卷帶來了難度。另一方面,這一卷和其它各卷還有一個區别,那就是所涉及到的部分定義是分布在許多命題當中的,并沒有統一放在一起,這也使我們不容易對比各個定義之間的區别和聯系。
在正式開始下面的内容之前還有一個問題需要強調,我們說一個線段是有理還是無理的,都是要針對一定的标準來說的。用一個簡單的例子來說,你如果選擇正方形邊長作為長度标準,那麼它的對角線就是現代意義上的無理數,可如果反過來用正方形的對角線為标準,那邊長就是現代的無理數了。本文的讨論,都假設已經選好了标準(或者說是單位),這個标準如果用算術語言來說,那就是以1為标準。
一、名詞解釋
要理解原著中的各個複雜的定義,先要理解下面這些名詞,請注意,下面所說的正有理數就是現代數學意義上的正有理數,但有理線和現代的正有理數不同。
有理線:正有理數開二次方的結果,這個結果可能是一個正有理數,比如4開方後為2,也可能還保留根号,如2開方後得根号2;
有理面:正有理數;
中項線:正有理數開四次方的結果,保留四次根号,如四次根号2;
中項面:有理數開平方的結果,保留根号,如根号2;
僅正方可公度:二者本身不可公度,但平方後可公度,如1和根号2、根号3中的任意兩個。
表1
其中有理線是有理面的算術平方根,中項線是中項面的算術平方根。
二、各級二項式定義
設二項線可以表示為
,這兩部分僅正方可公度,下表中的符号︵表示可公度(為下面讨論的方便起見,我們約定a>b)。餘線僅是将加号改為減号。
表2
命題X.48~X.53和X.85~X.90分别做出各級的二項線和餘線。
下面給出了二項線和餘線的一些例子,表中的一~六是二項線和餘線的級,即“一”表示第一二項線或第一餘線,“二”表示第二二項線或第二餘線,等等。
表3
三、雙中項線舉例
雙中項線有兩種,即第一雙中項線和第二雙中項線,根據其定義(X.37、X.38)可以給出下面的例子,這裡的共同點是,其中一個被開方數是另一個被開方數的三次方,不同點則在于,第一雙中項線的兩項差一個正有理數的系數,而第二雙中項線的兩項差一個帶二次根号的系數:
表4
中項線的第一、二餘線僅是将其中的加号改成減号,見命題X.74、X.75。
四、各種無理線段
設下面的各個線段都可以寫成x±y的形式,最左一列和最右一列的每個格裡上一行對應的x y,下一行對應的是x-y。注意下表中的xy,其實也可以寫成2xy,因為這兩者是可公度的嘛。寫成2xy的好處是,和x y連在一起立刻可以看出和完全平方公式有關系,即(x±y)=x±2xy y。
表5
五、以上線段之間的關系
歐幾裡得把各種無理線段分成了這麼多類型,并不是心血來潮,而是經過深思熟慮的,這就表現在各種無理線段之間的聯系上。注意下表的最右列每個格裡有兩個命題,其中第一個命題說的是原線段經過開方之後得到的算術平方根,第二個命題說的則是對應的逆命題,比如第一二項線開方得到二項線(各級二項線都有可能),而二項線平方得到第一二項線。
表6
又,從表2給出的二項線的例子可以看出,第一、二、四、五二項線都可以看做是有理面和中項面的和,而第三、六二項線則可以看做是兩個中項面的和。對照表6可以就理解命題X.71所說的:中項面和有理面相加(開方後)可以産生四個無理線段——二項線、第一雙中項線、主線或者中項面有理面的和。而命題X.72則是說,兩個中項面相加(開方後)可以産生第二雙中項線或者是一個兩中項面和的邊。其實X.71和X.72就是把表6的内容換了個表達方式。
對于餘線來說,則給出了相應的命題X.108、X.109、X.110,分别是:有理面減中項面(開方後)得到餘線或者次線;中項面減有理面(開方後)得到中項線的第一餘線或有理面中項面差的邊;中項面減中項面(開方後)得到中項線的第二餘線或兩中項面差的邊。這隻要将表2中各個例子中的加号換成減号,再對應着看表6,就容易明白了。
六、 其它各種部分命題的含義
X.42~X.47、X.79~X.84各命題是這樣的:已知前面的各種無理線段(比如二項線、雙中項線…乃至餘線等等)都可以寫成x±y的形式,這些命題給出告訴我們,這些無理線段隻能有一種這樣的表達式。舉例來說,1 根号2等于2.414…,這是一個二項線,X.42告訴我們的就是,隻有把這個這個結果分成1和1.414…這樣的兩部分,這兩部分才都是有理線而且僅正方可公度,其它任何方法都不行,比如你把它分成2和0.414…,這樣得到的不可能是兩個僅正方可公度的有理線。
X.66~X.70、X.103~X.107各命題的意思則是:和哪一類無理線段可公度的,就也是那一類的無理線段。X.112、X.113、X.114講的是二項線和餘線的乘除法,這裡就不多說了。(本文共涉及該卷的83個命題,讀者可以根據以上内容自行理解其它命題)
《幾何原本》
作者:歐幾裡得
譯者:張蔔天
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