極值的定義：

（1）極大值： 一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極大值，記作y極大值=f（x0），x0是極大值點；

（2）極小值：一般地，設函數f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0），x0是極小值點。

極值的性質：

（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值隻是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意味着它在函數的整個的定義域内最大或最小；

求函數f（x）的極值的步驟：

（1）确定函數的定義區間，求導數f′（x）；

（2）求方程f′（x）=0的根；

（3）用函數的導數為0的點，順次将函數的定義區間分成若幹小開區間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右負，那麼f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符号即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值。

對函數極值概念的理解：

極值是一個新的概念，它是研究函數在某一很小區域時給出的一個概念，在理解極值概念時要注意以下幾點：

①按定義，極值點x0是區間[a，b]内部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．如圖

②極值是一個局部性概念，隻要在一個小領域内成立即可．要注意極值必須在區間内的連續點取得．一個函數在定義域内可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小，如圖．

③若fx）在(a，b)内有極值，那麼f(x)在(a，b)内絕不是單調函數，即在區間上單調的函數沒有極值．

④若函數f（x）在[a，b]上有極值且連續，則它的極值點的分布是有規律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f（x）在[a，b]上連續且有有

限個極值點時，函數f（x）在[a，b]内的極大值點、極小值點是交替出現的，

⑤可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點，

函數的最值與導數的關系

函數的最大值和最小值：

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值，分别對應該區間上的函數值的最大值和最小值。

利用導數求函數的最值步驟：

（1）求f（x）在（a，b）内的極值；

（2）将f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數f（x）在[a，b]上的最值。

用導數的方法求最值特别提醒：

①求函數的最大值和最小值需先确定函數的極大值和極小值，因此，函數極大值和極小值的判别是關鍵，極值與最值的關系：極大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是極大（小）值；

②如果僅僅是求最值，還可将上面的辦法化簡，因為函數fx在[a，b]内的全部極值，隻能在f（x）的導數為零的點或導數不存在的點取得（下稱這兩種點為可疑點），所以隻需要将這些可疑點求出來，然後算出f（x）在可疑點處的函數值，與區間端點處的函數值進行比較，就能求得最大值和最小值；

③當f（x）為連續函數且在[a，b]上單調時，其最大值、最小值在端點處取得。

生活中的優化問題：

生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題，解決優化問題的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，線性規劃及利用二次函數的性質等，

不少優化問題可以化為求函數最值問題．導數方法是解這類問題的有效工具．

用導數解決生活中的優化問題應當注意的問題：

(1)在求實際問題的最大（小）值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去；

(2)在實際問題中，有時會遇到函數在區間内隻有一個點使f'（x)=0的情形．如果函數在這點有極大（小）值，那麼不與端點比較，也可以知道這就是最大（小）值；

(3)在解決實際優化問題時，不僅要注意将問題中涉及的變量關系用函數關系表示，還應确定出函數關系式中自變量的定義區間．

利用導數解決生活中的優化問題：

(1)運用導數解決實際問題，關鍵是要建立恰當的數學模型（函數關系、方程或不等式），運用導數的知識與方法去解決，主要是轉化為求最值問題，最後反饋到實際問題之中．

(2)利用導數求f(x)在閉區間[a，b]上的最大值和最小值的步驟，

①求函數y =f(x)在（a，b）上的極值；

②将函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

(3)定義在開區間(a，b)上的可導函數，如果隻有一個極值點，該極值點必為最值點．

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