概率和統計知識是數據科學和機器學習的核心；我們需要統計和概率知識來有效地收集、審查、分析數據。

現實世界中有幾個現象實例被認為是統計性質的（即天氣數據、銷售數據、财務數據等）。這意味着在某些情況下，我們已經能夠開發出方法來幫助我們通過可以描述數據特征的數學函數來模拟自然。

“概率分布是一個數學函數，它給出了實驗中不同可能結果的發生概率。”

了解數據的分布有助于更好地模拟我們周圍的世界。它可以幫助我們确定各種結果的可能性，或估計事件的可變性。所有這些都使得了解不同的概率分布在數據科學和機器學習中非常有價值。

在本文中，我們将介紹一些常見的分布并通過Python 代碼進行可視化以直觀地顯示它們。

最直接的分布是均勻分布。均勻分布是一種概率分布，其中所有結果的可能性均等。例如，如果我們擲一個公平的骰子，落在任何數字上的概率是 1/6。這是一個離散的均勻分布。

但是并不是所有的均勻分布都是離散的——它們也可以是連續的。它們可以在指定範圍内取任何實際值。a 和 b 之間連續均勻分布的概率密度函數 (PDF) 如下：

讓我們看看如何在 Python 中對它們進行編碼：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy import stats # for continuous a = 0 b = 50 size = 5000 X_continuous = np.linspace(a, b, size) continuous_uniform = stats.uniform(loc=a, scale=b) continuous_uniform_pdf = continuous_uniform.pdf(X_continuous) # for discrete X_discrete = np.arange(1, 7) discrete_uniform = stats.randint(1, 7) discrete_uniform_pmf = discrete_uniform.pmf(X_discrete) # plot both tables fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(15,5)) # discrete plot ax[0].bar(X_discrete, discrete_uniform_pmf) ax[0].set_xlabel("X") ax[0].set_ylabel("Probability") ax[0].set_title("Discrete Uniform Distribution") # continuous plot ax[1].plot(X_continuous, continuous_uniform_pdf) ax[1].set_xlabel("X") ax[1].set_ylabel("Probability") ax[1].set_title("Continuous Uniform Distribution") plt.show()

高斯分布可能是最常聽到也熟悉的分布。它有幾個名字：有人稱它為鐘形曲線，因為它的概率圖看起來像一個鐘形，有人稱它為高斯分布，因為首先描述它的德國數學家卡爾·高斯命名，還有一些人稱它為正态分布，因為早期的統計學家 注意到它一遍又一遍地再次發生。

正态分布的概率密度函數如下：

σ 是标準偏差，μ 是分布的平均值。要注意的是，在正态分布中，均值、衆數和中位數都是相等的。

當我們繪制正态分布的随機變量時，曲線圍繞均值對稱——一半的值在中心的左側，一半在中心的右側。并且，曲線下的總面積為 1。

mu = 0variance = 1 sigma = np.sqrt(variance) x = np.linspace(mu - 3*sigma, mu 3*sigma, 100) plt.subplots(figsize=(8, 5)) plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, mu, sigma)) plt.title("Normal Distribution") plt.show()

對于正态分布來說。經驗規則告訴我們數據的百分比落在平均值的一定數量的标準偏差内。這些百分比是：

68% 的數據落在平均值的一個标準差内。

95% 的數據落在平均值的兩個标準差内。

99.7% 的數據落在平均值的三個标準差範圍内。

對數正态分布是對數呈正态分布的随機變量的連續概率分布。因此，如果随機變量 X 是對數正态分布的，則 Y = ln(X) 具有正态分布。

這是對數正态分布的 PDF：

對數正态分布的随機變量隻取正實數值。因此，對數正态分布會創建右偏曲線。

讓我們在 Python 中繪制它：

X = np.linspace(0, 6, 500) std = 1 mean = 0 lognorm_distribution = stats.lognorm([std], loc=mean) lognorm_distribution_pdf = lognorm_distribution.pdf(X) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5)) plt.plot(X, lognorm_distribution_pdf, label="μ=0, σ=1") ax.set_xticks(np.arange(min(X), max(X))) std = 0.5 mean = 0 lognorm_distribution = stats.lognorm([std], loc=mean) lognorm_distribution_pdf = lognorm_distribution.pdf(X) plt.plot(X, lognorm_distribution_pdf, label="μ=0, σ=0.5") std = 1.5 mean = 1 lognorm_distribution = stats.lognorm([std], loc=mean) lognorm_distribution_pdf = lognorm_distribution.pdf(X) plt.plot(X, lognorm_distribution_pdf, label="μ=1, σ=1.5") plt.title("Lognormal Distribution") plt.legend() plt.show()

泊松分布以法國數學家西蒙·丹尼斯·泊松的名字命名。這是一個離散的概率分布，這意味着它計算具有有限結果的事件——換句話說，它是一個計數分布。因此，泊松分布用于顯示事件在指定時期内可能發生的次數。

如果一個事件在時間上以固定的速率發生，那麼及時觀察到事件的數量（n）的概率可以用泊松分布來描述。例如，顧客可能以每分鐘 3 次的平均速度到達咖啡館。我們可以使用泊松分布來計算 9 個客戶在 2 分鐘内到達的概率。

下面是概率質量函數公式：

λ 是一個時間單位的事件率——在我們的例子中，它是 3。k 是出現的次數——在我們的例子中，它是 9。這裡可以使用 Scipy 來完成概率的計算。

from scipy import stats print(stats.poisson.pmf(k=9, mu=3)) """ 0.002700503931560479 """

泊松分布的曲線類似于正态分布，λ 表示峰值。

X = stats.poisson.rvs(mu=3, size=500) plt.subplots(figsize=(8, 5)) plt.hist(X, density=True, edgecolor="black") plt.title("Poisson Distribution") plt.show()

指數分布是泊松點過程中事件之間時間的概率分布。指數分布的概率密度函數如下：

λ 是速率參數，x 是随機變量。

X = np.linspace(0, 5, 5000) exponetial_distribtuion = stats.expon.pdf(X, loc=0, scale=1) plt.subplots(figsize=(8,5)) plt.plot(X, exponetial_distribtuion) plt.title("Exponential Distribution") plt.show()

可以将二項分布視為實驗中成功或失敗的概率。有些人也可能将其描述為抛硬币概率。

參數為 n 和 p 的二項式分布是在 n 個獨立實驗序列中成功次數的離散概率分布，每個實驗都問一個是 - 否問題，每個實驗都有自己的布爾值結果：成功或失敗。

本質上，二項分布測量兩個事件的概率。一個事件發生的概率為 p，另一事件發生的概率為 1-p。

這是二項分布的公式：

可視化代碼如下：

X = np.random.binomial(n=1, p=0.5, size=1000) plt.subplots(figsize=(8, 5)) plt.hist(X) plt.title("Binomial Distribution") plt.show()

學生 t 分布（或簡稱 t 分布）是在樣本量較小且總體标準差未知的情況下估計正态分布總體的均值時出現的連續概率分布族的任何成員。它是由英國統計學家威廉·西利·戈塞特（William Sealy Gosset）以筆名“student”開發的。

PDF如下：

n 是稱為“自由度”的參數，有時可以看到它被稱為“d.o.f.” 對于較高的 n 值，t 分布更接近正态分布。

import seaborn as sns from scipy import stats X1 = stats.t.rvs(df=1, size=4) X2 = stats.t.rvs(df=3, size=4) X3 = stats.t.rvs(df=9, size=4) plt.subplots(figsize=(8,5)) sns.kdeplot(X1, label = "1 d.o.f") sns.kdeplot(X2, label = "3 d.o.f") sns.kdeplot(X3, label = "6 d.o.f") plt.title("Student's t distribution") plt.legend() plt.show()

卡方分布是伽馬分布的一個特例；對于 k 個自由度，卡方分布是一些獨立的标準正态随機變量的 k 的平方和。

PDF如下：

這是一種流行的概率分布，常用于假設檢驗和置信區間的構建。

讓我們在 Python 中繪制一些示例圖：

X = np.arange(0, 6, 0.25) plt.subplots(figsize=(8, 5)) plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=1), label="1 d.o.f") plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=2), label="2 d.o.f") plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=3), label="3 d.o.f") plt.title("Chi-squared Distribution") plt.legend() plt.show()

掌握統計學和概率對于數據科學至關重要。在本文展示了一些常見且常用的分布，希望對你有所幫助。

來源：Deephub Imba

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