我們從小學習數學運算的順序是這樣的：

①首先學習加法運算，然後學習加法運算的逆運算—減法運算；

a b=c，c-b=a；

②其次學習乘法運算，然後學習乘法運算的逆運算—除法運算；

a×b=c，c÷b=a；

③再次學習乘方運算，然後學習乘方運算的逆運算—開方運算；

a^n=b，(n)√(b)=a；

③最後學習指數運算，然後學習指數運算的逆運算—對數運算。

a^n=b，log(a,b)=n。

值得注意的是，從邏輯上看，顯然應該是先有指數，再有對數。然而，現實的曆史發展卻恰恰相反，對數确實是早于指數先出現的，這也成為數學史上的一個珍聞。今天我們就來認識一下對數。

對于指數運算：a^b=N；a稱為底數，a＞0且a≠1；N稱為幂，N＞0；b稱為指數。

等價于對數運算：log(a,N)=b；a稱為底數；N稱為真數；b稱為對數。

a^b=N↔log(a,N)=b

a＞0且a≠1，N＞0。

例如：2^3=8↔log(2,8)=3

根據對數定義，很容易得出以下結論：

log(a,a)=1，log(a,1)=0，log(a,a^2)=2

log(a,1/a)=-1，log(a,√a)=1/2

另外，還有以下兩個定義：

①底數為10的對數稱為常用對數，表示為：log(10,N)=lg(N)

②底數為自然常數e的對數稱為自然對數，表示為：log(e,N)=ln(N)

接下來我們來複習對數的基本運算法則：

①log(a,M×N)=log(a,M) log(a,N)

②log(a,M/N)=log(a,M)-log(a,N)

證明：log(a,M)=x，log(a,N)=y

M=a^x，N=a^y

M×N=(a^x)×(a^y)=a^(x y)

M/N=(a^x)/(a^y)=a^(x-y)

log(a,M×N)=x y=log(a,M) log(a,N)

log(a,M/N)=x-y=log(a,M)-log(a,N)，證畢！

③推論：log(a,M1×M2×…×Mn)

=log(a,M1) log(a,M2) … log(a,Mn)

④log(a,M^n)=n×log(a,M)

證明：

log(a,M^n)=log(a,M×M×…×M)

【n個M】

=log(a,M) log(a,M) … log(a,M)

【n個log(a,M)】

=n×log(a,M)，證畢！

⑤log(a^b,M)=(1/b)×log(a,M)

證明：log(a^b,M)=x

M=(a^b)^x=a^(b×x)

b×x=log(a,M)

log(a^b,M)=x=(1/b)×log(a,M)

證畢！

⑥log(a^b,M^n)=(n/b)×log(a,M)

證明：log(a^b,M^n)

=n×log(a^b,M)

=n×[(1/b)×log(a,M)]

=(n/b)×log(a,M)，證畢！

⑦log(a,a^n)=n

⑧log(a^n,a)=1/n

證明：

log(a,a^n)=n×log(a,a)=n×1=n

log(a^n,a)=(1/n)×log(a,a)=(1/n)×1=1/n

證畢！

基本公式就先介紹到這裡，接下來我們來讨論今天的主題：對數恒等式與換底公式。

我們首先來證明對數恒等式。

對數恒等式：a^[log(a,N)]=N

證明：log(a,N)=x，a^x=N

a^x=a^[log(a,N)]=N，證畢！

對數恒等式

對數恒等式a^[log(a,N)]=N有着非常重要的應用，利用這個恒等式，可以将任何正數x表示成指數與對數相結合的形式，而指對數的底數a可以為任何不等于1的正數。

x=a^[log(a,x)]=2^[log(2,x)]

=10^[lg(x)]=e^[ln(x)]

尤其是利用x=e^[ln(x)]的變換，可以很容易地求出一些複雜函數的導出，例如幂指函數f(x)=x^x。

f(x)=x^x={e^[ln(x)]}^x=e^[x×ln(x)]

具體求導的過程，我們下節課再講。

接下來我們來證明換底公式。

換底公式：

log(a,N)=log(m,N)/log(m,a)

證明：log(a,N)=x，a^x=N

log(m,N)=log(m,a^x)=x×log(m,a)

log(a,N)=x=log(m,N)/log(m,a)

證畢！

換底公式

換底公式最強大之處在于可以将對數的底數換成任意底數。

log(a,b)=log(2,b)/log(2,a)

=lg(b)/lg(a)=ln(b)/ln(a)

利用換底公式

log(a,b)=lg(b)/lg(a)，我們進一步可以推出：

①log(a,b)×log(b,c)=log(a,c)

證明：log(a,b)×log(b,c)

=[lg(b)/lg(a)]×[lg(c)/lg(b)]

=lg(c)/lg(a)=log(a,c)，證畢！

②log(a,b)×log(b,a)=1

證明：log(a,b)×log(b,a)

=log(a,a)=1，證畢！

在計算器還沒有普及之前，人們正是利用換底公式來計算對數值。我們首先制作了常用對數表，然後就可以将任何一個對數換底為常用對數，通過查表即可計算出對數值。

例如：log(2,3)=lg(3)/lg(2)

≈0.4771/0.3010≈1.585

常用對數表

另外，利用對數表，我們也可以很快比較兩個指數的大小。

例如：比較2^300和3^200的大小

lg(2^300)=300×lg(2)≈300×0.3010=90.3

lg(3^200)=200×lg(3)≈200×0.4771=95.42

lg(2^300)＜lg(3^200)，2^300＜3^200

好了，今天就先聊到這裡，大家下來後可以再自行證明以上公式，加深理解。

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