數學中的某些理論好像都是一個個散落的珍珠，能否把它們統一在一起，這正是我感興趣的。

把一個單位分數拆分成幾個單位分數之和，至少有如下兩個不同的形式：

1、分母裂項拆分基本公式之一：1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

2、分母裂項拆分基本公式之二：1/n= (n k1 k2 k3 … kn)/[n(n k1 k2 k3 … kn)]------（2）

（其中k1、k2、k3、…kn都是n的因數之一）

（以上基本數理來自于網絡）

思考的起點圖

許多的問題總會接連不斷地浮現，總希望能找出思考的頭緒：

1、它們的根源從何而來？

2、如何用最通俗的語言來描述？

3、每種數理包括哪些基本知識？

先看以下幾個基本知識的概念：

（1） 單位分數定義：我們把分子是1、分母是自然數的分數叫單位分數，記成1/n。

（2） 真分數：分子和分母都是正整數，分子小于分母的分數，它們都大于0而小于1。大于0而小于1的分數叫做真分數。

（3） 假分數：分子和分母都是正整數，分子等于分母或分子大于分母的分數，它們等于1或大于1，等于1或大于1的分數叫作假分數。

（從單位分數概念中分析得出“1/1=1”是假分數，在真分數中1/2是最大的單位分數，所以下面的單位分數中分母都從2開始，隻讨論真分數形式。）

（4） 分數基本運算方法（或法則）之一：分子分母同乘（或除以）一個不為0的數，其分數值不變。

通過對上面的分數基本運算方法（或法則）進行分析，基本表達式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數）)---------(3)

（即：分子分母同乘（或除以）一個不為0的數，其分數值不變。）

接下來對(3)式進行變形：

1、設m=n k, k∈N(自然數）其(3)式基本形式變化如下：

1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------（4）

1）設k=1時，（4）式就變成了如下形式：

1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

這就是開頭的分母裂項拆分的基本公式之一。

所以（1）式就是從（3）式中演繹出來的特例：

（備注：演繹推理是由一般到特殊的推理方法。）

演繹推理：從一般表達式“1/n = m/(mn)”開始，先是對m分類（或限定），當滿足“m=n k”條件時，再對k分類（或限定），當滿足“k=1”這個條件時就成立了。

因此m=n 1隻是“1/n = m/(mn)”表達式中，m取值的一個特例。

再看下面幾個基本知識的概念：

1、 因數（或約數）與倍數定義：設a,b是整數，b≠0。如果有一個整數C,它便得a＝bc,則a叫做b的倍數， b叫做a的因數。

單位分數的表達基本形式其分子隻能是1.因此分子不為1時，則分子必定是分母的約數。

這就是對因數（或約數）知識點的運用。

例如因數（或約數）概念中：c/a=c/bc=1/b. （b≠0，c≠0）那麼“1/b”就是單位分數的表達基本形式。

2、 素數（或質數）與合數：質數又稱素數。一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數；否則稱為合數。（規定1既不是質數也不是合數）。

通過對上面素數（或質數）與合數的概念分析，我們知道對于任何自然數“1”和“它自身”都是這個自然數的約數。

因此對于任何自然數都有如下表達方式：

n=n*1（任何數乘以1都等于這個數本身）

m=n 1 則m剛好等于“n=n*1”中“n的兩個因數（或約數）n與1”的和。

思考結論：單位分數拆分與這個數本身的因數（或約數）有關。n與1都是n的因數（或約數）。它們從素數（或質數）與合數的概念中得來。

當m=n 1時：

1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

對（1）式舉例說明。

例如：

1/7=（1 7）/[7*（7 1）]

=(7 1)/(7*8)

=1/8 1/56 (對（1）式運用一次,便将“單位分數1/7拆分成2個單位分數之和”)

=9/(8*9) 1/56

=(8 1)/(8*9) 1/56

=1/9 1/72 1/56

(再次對（1）式運用,便将“分數單位分數1/7拆分成3個單位分數之和”。

或者将1/56 拆分“ =1/8 1/ (56 1)/[56*(56 1)]=1/8 1/57 1/3192” )

……

由此可見：用這種拆了又拆，不斷遞進的拆分方法，可以将任何一個單位分數拆分成N個單位分數之和。

即然m=n 1隻是一種特例,有沒有其它的特例呢?

顯然合數的因數（或約數）就不隻有”1”與”它本身’，因此就會産生新的拆分方式。

先看算術基本定理：

算術基本定理定義

從算術基本定理定義中可以看出，就是講合數的标準分解式。

例如:

10=2*5，2、5兩個數都是素數。符合N 的标準分解式。

10=1*10，這種形式就“m=n 1”的形式，即滿足表達式（1）

因此k至少可以選擇：1、2、5、10

由于“分子分母同乘（或除以）一個不為0的數，其分數值不變。”

其基本數理如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數）)---------(3)

當m=n k時

1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------（4）

k取n的某個因數（或約數），如下：

1、 當n=10，k=1時,

1/10=（10 1）/(10*11)=1/11 1/110

2、 當n=10，k=2時

1/10=（10 2）/(10*12)=1/12 1/60

3、 當n=10，k=5時

1/10=（10 5）/(10*15)=1/15 1/30

4、 當n=10，k=10時（特殊情況）

1/10=（10 10）/(10*20)=1/20 1/20

（這裡便是兩個分母一樣，是常見的“一分為二”）

上面的是m=n k，m是n的基礎上再加某個數k，k為n的某個因數（或約數）。

下面再看k的另一種情況：

1、 當k=1 2,

1/10=（1 2）/(10*3)=1/30 1/15

2、 當k=1 5

1/10=（1 5）/(10*6)=1/60 1/12

3、 當K=2 5

1/10=（2 5）/(10*7)=1/35 1/14

以上便是“單位分數1/10拆分成2個單位分數之和”的幾種情況。（僅供參考）

對于K的拓展就可以知道：

1、 當k=1 2 5,

1/10=（1 2 5）/(10*8)=1/80 1/40 1/16

2、 當k=1 2 10

1/10=（1 2 10）/(10*13)=1/130 1/65 1/13

3、 當K=1 5 10

1/10=（1 5 10）/(10*16)=1/160 1/32 1/16

4、 當K=2 5 10

1/10=（2 5 10）/(10*17)=1/170 1/34 1/17

以上便是“單位分數1/10拆分成3個單位分數之和”的幾種情況。（僅供參考）

當K=1 2 5 10

1/10=（1 2 5 10）/(10*18)=1/180 1/90 1/36 1/18

思考結論總結：單位分數拆分與這個數本身的因數（或約數）有關。隻與的k取值有關，k是n的兩個因數或多個因數之和。

基本數理是：

分數計算法則之一：分子分母同乘（或除以）一個不為0的數，其分數值不變。

基本表達式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數）)---------(3)

(其中m=k,k是n的兩個或多個因數（或約數）的和)

除了上面的這種方法以外,還有一種對m倍增的方法。（個人愛好，僅做思考拓展。）

基本數理是：

分數計算法則之一：分子分母同乘（或除以）一個不為0的數，其分數值不變。

具體表達式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數）)---------(3)

m=ki, (第一個K1 =K， K2=2^(2-1)* K, K3= 2^(3-1)*K…ki=2^(i-1)*k,其中k是n的兩個或多個因數（或約數）的和)

例如：

當n=7,k=1 7=8

1、 當K1=k=1 7=8時,（這裡K1=k）

1/7=(1 7)/(7*8)=1/8 1/56

2、 當K2=2^(2-1)*K=2* （1 7）=16時,（可以理解為K2是K1的2倍，是K的2倍）

1/7=(1 7 8)/(7*16)=1/112 1/16 1/14

3、 當K3=2^(3-1)*K=2^2*（1 7）=32時,（可以理解為K3是K2的2倍，是K的4倍）

1/7=(1 7 8 16)/(7*32)=1/224 1/32 1/28 1/14

4、 當K4=2^(4-1)*K=2^2*（1 7）=64時,（可以理解為K4是K3的2倍，是K的8倍）

1/7=(1 7 8 16 32)/(7*64)=1/448 1/64 1/56 1/28 1/14

……

先看完全數定義：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等于它本身。如果一個數恰好等于它的真因子之和，則稱該數為“完全數”。 例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1 2 3=6。

用這種方法,對于單位分數中分母為“完全數”有如下拆分：

當n =6,k=1 2 3

1、 當K1=k=1 2 3=6時

1/6=(1 2 3)/(6*6)=1/36 1/18 1/12

2、 當K2=2^(2-1)*K=2* （1 2 3）=1 2 3 6=12時（其中K2是K1的2倍）

1/6=(1 2 3 6)/(6*12)=1/72 1/36 1/24 1/12

3、 當K3=2^(3-1)*K=2^2*(1 2 3)= 1 2 3 6 12=24時（其中K3是K2的2倍）

1/6=(1 2 3 6 12)/(6*24)=1/144 1/72 1/48 1/24 1/12

4、 當K4=2^(4-1)*K=2^3* (1 2 3)= (1 2 3 6 12 24)=48時（其中K4是K3的2倍）

1/6=(1 2 3 6 12 24)/(6*48)=1/288 1/144 1/96 1/48 1/24 1/12

......

單位分數拆分演繹圖

如有不當之處，敬請斧正！

将分數拆分成幾個單位分數之和的作用是什麼？

仁者見仁，智者見智，每個人的理解可能都不一樣。

例如有一個題：把7個面包分給8個人，解答的形式是7/8=1/2 1/4 1/8.從式子中可以看出，應該把面包切成這樣的幾份：把4個面包每個切成兩份，2隻面包都切成四份，一隻面包切成8份。（摘抄于<數學簡史>第25頁）

1、 分數分為三類：真分數、假分數、帶分數

1） 真分數：分子和分母都是正整數，分子小于分母的分數，它們都大于0而小于1。大于0而小于1的分數叫做真分數。

2） 假分數：分子和分母都是正整數，分子等于分母或分子大于分母的分數，它們等于1或大于1，等于1或大于1的分數叫作假分數。

3） 帶分數：整數後面帶有分數叫做帶分數。(可以當是假分數的另一種形式。)

2、 單位分數定義：我們把分子是1、分母是自然數的分數叫單位分數，記成1/n。

3、 分母裂項拆分基本公式之一：1/[n(n 1)]=(1/n)- [1/(n 1)]。

4、 分數計算法則之一：分子分母同乘（或除以）一個不為0的數，其分數值不變。

5、 算術基本定理可表述為：任何一個大于1的自然數 N,如果N不為質數，那麼N可以唯一分解成有限個質數的乘積N=P1^a1P2^a2P3^a3......Pn^an，這裡P1<P2<P3......<Pn均為質數，其中指數ai是正整數。這樣的分解稱為 N 的标準分解式。

6、 素數（或質數）與合數：質數又稱素數。一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數；否則稱為合數。（規定1既不是質數也不是合數）。

7、 因數（或約數）與倍數定義：設a,b是整數，b≠0。如果有一個整數C,它便得a＝b C,則a叫做b的倍數， b叫做a的因數。

8、 完全數定義：“完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等于它本身。如果一個數恰好等于它的真因子之和，則稱該數為“完全數”。 例如：第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1 2 3=6。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1 2 4 7 14=28。第三個完全數是496，有約數1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其餘9個數相加，1 2 4 8 16 31 62 124 248=496。後面的完全數還有8128、33550336等等。

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