在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法SSS SAS ASA AAS HL中，至少有一組相等的邊，因此在應用時要養成先找邊的習慣。如果找到了一組對應邊，再找第二組條件，若又找到一組對應邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對應邊用“SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個角的另一組對應邊用“SAS”；若是判定兩個直角三角形全等則優先考慮“HL”.

搞清了全等三角形的證題思路後，還要注意一些較難的證明問題，隻要構造合适的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了．下面舉例說明幾種常見的構造方法，供同學們參考．

1．截長補短法

1 .如圖，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E.

求證：AB BE=AC．

解法1:（補短法或補全法）延長AB至F 使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45°，∴BF=BE，∴AB BE=AB BF=AF=AC．

解法2:（截長法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE.∵∠ACE=45°,∴CG=EG,∴AB BE=AG CG=AC．

2．旋轉法

對題目中出現有一個公共端點的相等線段時，可試用旋轉方法構造全等三角形。

2.如圖所示，已知點E、F分别在正方形ABCD的邊BC與CD上，并且AF平分∠EAD，求證：BF DF=AE.

分析：本題要證的BE和DF不在同一條直線上，因而要設法将它們“組合”到一起.可将△ADF繞點A旋轉90°到△ABG，則△ADF≌△ABG，BG=DF，從而将BE BG轉為線段GE，再進一步證明GE=AE即可.

3．平移法

若題設中含有中點可以過中點作平行線或中位線，對直角三角形,有時可作出斜邊上的中線．

例2 在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求證：AB BP=BQ AQ．

證明：如圖，過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°.∵∠AQO=∠C ∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO.∵∠DAO=∠QAO，OA=OA，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ.∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB.∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD.∵∠BPO=∠PAC ∠PCA=30° 40°=70°，∠BOP=∠BAO ∠ABO=30° 40°=70°，∴BP=BO.

∴AB BP=AD DB BP=AQ OQ BO=AQ BQ．

4．翻轉法

若題設中含有垂線、角平分線等條件，可以試着用軸對稱性質，沿軸翻轉圖形來構造全等三角形．

例4 如圖,已知：在△ABC中，∠BAC=45°, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求△ABC的面積．

解：以AB為軸将△ABD翻轉180°，得到與它全等的 △ABE，以AC為軸将△ADC翻轉180°，得到與它全等的 △AFC，EB、FC延長線交于G，易證四邊形AEGF是正方形，設它的邊長為x，則BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3） （x-2）=5． 解得x=6，則AD=6，∴S_△ABC=×5×6=15．

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