一、有關數列的概念：

1、數列是按照一定順序排列的一列數，數列中的每一個數叫做這個數列的項。

數列中的每一項都和它的序号有關，排在第一位的數稱為這個數列的第 1 項 （通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第 2 項 ， ...... ，排在第 n 位的數稱為這個數列的第 n 項 。

2、數列的一般形式可以寫成如下形式：

數列一般形式圖（1）

3、項數有限的數列叫做有窮數列，項數無限的數列叫做無窮數列。

4、如果數列 {an} 的第 n 項與序号 n 之間的關系可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式 。

5、從數列中的第二項起，每一項都大于前一項的數列叫做遞增數列；

從數列中的第二項起，每一項都小于前一項的數列叫做遞減數列；

各項相等的數列叫常數列；

從第二項起，有些項大于它前一項，有些項小于它前一項的數列叫做擺動數列 。

6、數列的圖像都是一群孤立的點 。

7、數列有三種表示形式：列舉法、通項公式法、圖像法 。

8、遞推公式：如果已知數列 {an} 的第 1 項 （或前幾項），且任一項 an 與它的前一項 an-1 （或前 n 項）間的關系可以用一個公式來表示，那麼這個公式就叫做這個數列的遞推公式。遞推公式也是給出數列的一種方法 。

二、數列通項公式的常用求法

1、根據數列的某幾項寫出數列的通項公式，常用到 “觀察法”，具備較強的觀察和邏輯推理能力是解決這類題目的關鍵。

例1：根據數列的前 4 項，寫出它的一個通項公式：

（1）9，99，999，9999，…

例題1圖（1）

例題1圖（2）

注：觀察數列中各項的特點，關鍵是找出各項與項數 n 的關系 。

2、數列基本概念的辨析。

解決此類題目的關鍵是要深刻理解數列與函數的關系、數列與集合的聯系與區别、數列的基本概念和性質等。

① 公式法

例2： 已知數列 {an} 是公差為 d 的等差數列，數列 {bn} 是公比為 q 的 (q∈R且q≠1) 的等比數列，若函數 f (x) = (x－1)^2，

且 a1 = f (d－1)，a3 = f (d 1)，b1 = f (q 1)，b3 = f (q－1) ；

(1) 求數列 { a n } 和 { b n } 的通項公式；

例題2圖

注：當已知數列為等差或等比數列時，可直接利用等差或等比數列的通項公式，隻需求得首項及公差公比 。

② 疊加法

例3：已知數列 6，9，14，21，30，… 求此數列的一個通項 。

例題3圖

注：一般地，對于形如 an 1 = an f ( n ) 類的通項公式，隻要 f ( 1 ) f ( 2 ) ... f ( n ) 能進行求和，則宜采用此方法求解。

③ 疊乘法

例4：在數列｛an｝中，a1 = 1, (n 1) · an 1 = n · an，求數列 an 的表達式 。

例題4圖

注：一般地，對于形如 an 1 = f ( n ) · an 類的通項公式，當 f ( 1 ) · f ( 2 ) · ... · f ( n ) 的值可以求得時，宜采用此方法 。

④ Sn法

Sn法圖

例5：已知下列兩數列 {an} 的前 n 項和 sn 的公式，求數列 {an} 的通項公式 。

例題5圖（1）

例題5圖（2）

例題5圖（3）

注：要先分 n = 1和 n ≥ 2 兩種情況分别進行運算，然後驗證能否統一 。

⑤ 待定系數法

例6：設數列 {cn} 的各項是一個等差數列與一個等比數列對應項的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求此數列的通項公式 cn 。

例題6圖（1）

注：用待定系數法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數列 {an} 為等差數列：

例題6圖（2）

3、求數列通項的其它方法 。

① 輔助數列法

例7：已知數列 {an} 的遞推關系為 an 1 = 2an 1 , 且 a1 = 1 , 求數列 {an} 的通項 an 。

例題7圖

注：這種方法類似于換元法, 主要用于已知遞推關系式求通項公式 。

② 歸納、猜想

例8：在

例題8圖

注：對難以用上各法求通項的數列，常先由遞推公式算出前幾項，找到規律，歸納、猜想出通項公式 。

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