計算線、面、體的積分是微積分學科中的重難點之一，也是理工科大學生需掌握的核心知識點之一。本文小樂通過一個具體案例，給出典型求解重積分的方法過程，并在其中每一步驟，給出相應原理解釋與相關的擴充知識點，供大家系統學習或複習時參考。
首先，我們給出原題：
利用三重積分計算下列由曲面所圍成的立體的體積：
求曲面所圍成的立體的體積
拿到這道題，我們需要先分析一下，題中用方程表示出來的這兩個曲面，分别是什麼形狀。
根據第一個曲面方程：
上半球面
顯然這個方程，通過适當變形，易知表示球體的上半球面（球心正好位于直角坐标系原點，球體半徑為根号5）。
上半球面
而根據第2個曲面方程：
旋轉抛物面
如果我們忽略y或者忽略x，就會發現是抛物線方程（頂點在原點，開口向上，即z軸正向），再根據x,y的對稱性，易知這個方程表示一個旋轉抛物面，可以看成一個頂點正好在原點，開口向上（z軸正方向）的一條抛物線，繞z軸旋轉一周後，得到的曲面。
旋轉抛物面
那麼這兩個面相交後，顯然我們可以聯立方程組：
聯立曲面方程組，求出解
适當變形解出方程組
解出：z=1，也就是說，這兩個曲面相交于z=1的高度，相交的形狀是一個圓。
曲面相交于z=1
那麼我們可以将這兩個曲面所圍成的立體，沿着z=1，一分為二得到上下兩部分，分塊計算體積。
所圍立體一分為二
計算三重積分
在上述第2步，我們将笛卡爾直角坐标系中的積分，變換成柱坐标系的積分。這裡需要注意，被積函數需要乘以一個雅可比行列式（等于r），即下表中的第三個：
變量代換的雅可比行列式
然後在第3步，我們立即将重積分，化成累次積分（注意界定好各變量的上下限）。
當然這一題，如不限定使用柱坐标系計算體積的話，我們其實可以使用對面積微元進行積分（z從0到1，再從1到根号5）求體積的思想，即對一層層薄片面積累加求體積，具體一點就是把立體切成圓形薄片（與z軸垂直），每個薄片的面積都可以使用圓面積公式S=πr²，這裡r随着z而變化，是關于z的函數，即：
面積元薄片
然後對面積元進行一維積分，這就與上述第4步所得式子完全一緻，但計算速度更快，理解起來也不算太複雜，不失為一種檢驗原解答正确與否的方法，謝謝你的閱讀。
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