本文是對之前推送中關于新高考數學第8題解析得更正以及擴展，原題如下：

設甲乙丙丁事件分别為A,B,C,D，分别計算各自概率，以及根據選項計算P(AC)，P(AD)，P(B,C)，P(CD)，如下：

可知P(AD)=P(A)P(D)，根據獨立事件的公式，事件甲和丁相互獨立，選B

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以上解析過程完全是套用公式，公式符合即為獨立，不符合就不獨立，但如果脫離既定的公式，從最直觀的認識出發，A選項中事件甲和事件丙互斥，事件甲和丙發生的概率都依賴于各自符合的事件個數，而兩者各自符合的事件個數并無公共部分，為什麼兩事件不獨立？到底甲事件影不影響丙事件的概率，互斥事件和獨立事件的區别又是什麼。

知乎上有一篇關于獨立事件和互斥事件關聯性的文章，跟帖很多，評論大多從大學數理統計的角度出發，有興趣的同學可以自己搜一下，高中數學中都是直接給出了公式，但公式的由來和解釋并沒有給出，先從課本中給出的定義出發，先回顧一下和事件的和積事件，如下：

互斥事件又叫互不相容事件，指事件A,B不能同時發生，P(AB)=0,用和事件的形式表示成互斥事件，概率公式和圖示如下：

兩事件獨立的定義為事件A不影響事件B的發生的概率，從上圖看，若兩事件A,B互斥，且P(A) P(B)≠1，顯然A和B互斥時其實可以理解為A,B本身就存在概率上的關聯性，即事件A發生時，事件B就一定不會發生，因此A事件發生概率的大小會影響B事件概率的大小，此時不符合獨立事件的定義，因此可以理解為若兩事件互斥，則兩事件不獨立。

事件A發生的概率會影響事件B發生的概率大小，這裡不得不引入條件概率的定義，且不論事件A,B獨立與否，若A,B是兩不同的事件，按照分步相乘的原則，事件AB同時發生的概率等于在事件B發生且在事件B發生的條件下，事件A也發生，用數學表達式表示為：P(AB)=P(B)·P(A|B)，若A,B之間互不幹擾互不影響，則P(A|B)=P(A)，所以獨立事件概率公式可通過條件概率推導為P(AB)=P(A)P(B) 【書上是用古典概型推導出來的】

兩事件是否獨立在一些具體實際案例中很好理解，例如兩個不相幹的學生通過考試的情況是相互獨立的，兩個不相幹的機器運轉良好的概率也是相互獨立的，這些具體的案例很容易解釋獨立性，但在本題中，又該如何解釋事件的獨立性？

先看書本上關于獨立事件的案例：

三張獎券中隻有一張能中獎，現分别由三名同學有放回地抽取，事件A為"第一名同學沒有抽到中獎獎券"，事件B為“最後一名同學抽到中獎獎券”，問事件A的發生會不會影響事件B發生的概率？

人教版選修2-3

因為是有放回的抽取，A無論抽中沒抽中都會放回獎券，所以最後一名學生依舊是從三張獎券中抽取，因此P(B|A)=P(B),所以判斷兩事件獨立不獨立可以采用這種方法：即如果有A時B發生的概率與沒有A時發生的概率是否相同，看下面的經典案例：

兩種情況很接近，第一種情況，若沒有事件A，則B事件發生的概率為1/2,若事件A發生，在A發生的前提下B發生的概率依舊是1/2,此時P(B|A)=P(B),即事件A,B相互獨立。

第二種情況，若沒有事件A，事件B發生的概率為1/2，若事件A發生，在A發生的前提下B發生的概率為2/3,此時P(B|A)≠P(B)，事件A,B顯然不獨立。

從上述案例中能看出，A,B之間有沒有影響，具體是怎麼影響的隻能通過概率來判斷，并不能直接找出影響或不影響的特定情況。

若将本題中取兩次的數字所有可能性看作完整的事件，甲乙丙丁事件發生的概率圖示和關系如下：

如圖可知甲丙事件互斥，丙丁事件互斥，甲丁和乙丙存在交集，由互斥事件可知，甲丙以及丙丁不可能獨立，現分析甲丁和乙丙是否獨立：

先看甲丁，設甲丁事件分别為A,D，若沒有A時，D發生的概率P(D)=1/6,若在A發生的條件下，即可能事件為1,1；1,2；1,3；1,4；1,5；1,6，共6個，這6個事件總數中發生D事件的概率依舊為1/6，因此P(D|A)=P(D),反之亦然，所以甲丁互相獨立。

再看乙丙，設乙丙事件分别為B,C,若沒有B時，事件C發生的概率為5/36，若在B發生的條件下，即可能事件為1,2；2,2；3,2；4,2；5,2；6,2，共6個，這6個事件中發生C事件的概率為1/6,此時P(C|B)≠P(C),因此P(CB)=P(B)P(C|B)≠P(B)P(C)，反之亦然。

除了甲丁互相獨立之外，事件乙丁也互相獨立，隻是選項中并沒給出。

從上述案例中可總結如下圖：

簡言之為：互斥不獨立，獨立不互斥。

一開始的高考真題很容易把答案選出來，借此題目也回顧一下事件互斥，事件獨立，條件概率之間的關聯性。

【注：文章中提到事件為了體現一般性，概率P均為0<P<1】

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