函數的有些性質，僅僅通過常規的初等變換，或者常規的微積分知識，很難去證僞或驗真。近日讀書，重拾以前的課本，很多東西都有些陌生了。有一道習題，思索良久方獲解答，如下：
題目：不存在實數軸R上的連續函數f，使得f在無理數R\Q上是1-1映射，而在有理數Q上則不是1-1映射。
證明：反證法，假設存在R上的連續函數f，使得f在無理數R\Q上是1-1映射，而在有理數Q上則不是1-1映射。
根據假設，至少存在2個互異的有理數a，b，使得f(a)=f(b)。為了叙述方便，不妨令a<b。由于函數f在閉區間[a，b]上連續，所以f在[a，b]上存在最大值M和最小值m。
如果M=m，那麼f在[a，b]上的值是常數，這與“f在R\Q上是1-1映射”的條件相矛盾。所以M和m，至少有一個值與f (a)不相等。不妨令M> f(a)，則至少存在1個點c∈(a，b)，使得f(c)=M。
記A=（f(a)，M），顯然也有A=（f(b)，M），并且有下關系
由于有理數Q為可數集，基數小于實數集R，所以A\f(Q)不是空集。這個命題的驗真，我們最後再補充，此處繼續原題證明。即有如下關系
于是對任意s∈A\f(Q)，存在x1∈(a，c)，x2∈(c，b)，有如下關系
而這與“f在R\Q上是1-1映射”相矛盾，所以不存在這樣的f。
補充，關于“A\f(Q)不是空集”的簡略證明：
A與整個實數軸等勢，基數相同（這是為什麼呢？有興趣的自己試試，不難證明）；
一個點x，最多對應一個f(x），所以f(Q)最多與Q等勢；
Q的基數小于R的基數；
所以，集合A的基數大于f(Q)的基數，即A\ f(Q)不等于空集。
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