淺談數學中的一題多解?走近數學（4）—— 數學與智慧之三（充分必要條件），下面我們就來聊聊關于淺談數學中的一題多解?接下來我們就一起去了解一下吧!

淺談數學中的一題多解

走近數學（4）

—— 數學與智慧之三（充分必要條件）

馮躍峰

本文介紹“充分條件與必要條件”在生活實際中的應用。

尋找使問題結論成立的一個充分條件，是數學處理問題的常見的思維策略。這一策略在處理生活中的相關問題時，常常能收到出奇制勝的效果。

我們舉幾個例子來說明。

例1、宋徽宗趙佶喜愛書畫，創建并主管了世界上最早的皇家畫院。他雖為昏君，倒是一位傑出書畫家。他開設畫學，親自授課，建立考試制度，親自出題批卷，培養繪畫人才，開創了一代畫風。當時畫院的考試标準是：筆意俱全。

有一次考試，他出的一個題目是“深山藏古寺”。

在衆多的應試者中，有的在山腰間畫座古廟，有的把古廟畫在叢林深處，有的隻畫山而無寺，有的則隻畫了寺廟的一角。他看了很多幅，都不滿意。

就在他感到失望的時候，有一幅畫深深地吸引了他，這幅畫别出心裁，畫了一個小和尚，挑着一擔水沿着彎彎的山道拾級而上。

這幅畫作得到宋徽宗的連連稱贊：“好，好，這才是‘魁選’之作呀！”

後人對這幅畫作也極力推崇與贊賞，認為它構思奇特，畫中沒有廟，隻有一個挑水的和尚，就把“深山藏古寺”這個題目表現得淋漓盡緻。畫家過人之處，未見得是繪畫技術，而是他精巧的構思，能啟發别人的聯想。

然而，從數學的角度看，他的這一構思其實也是很簡單的：他采用的技巧，不過是将所畫内容，更換為“藏古寺”的一個充分條件。

因為由“挑水上山的和尚”，必然推出山中的寺廟。正因為寺廟是由和尚“推理”出來的，從而巧妙地實現了“藏”的效果。

下一個例子，與之有異曲同工之妙。

例2、試以“風”為題寫一首詩。

下面是唐朝詩人李峤寫的詩《風》。

解落三秋葉，能開二月花。過江千尺浪，入竹萬竿斜。

這首詩獲得大家的一緻好評。全詩僅僅20字，且通篇沒有一個風字，卻把将風的形象與力量完美地呈現在我們面前。

四句詩描寫的都是“風”的功能。具體地說，前兩句描寫了季節的更換：風掃落葉，預示着萬物開始凋零；風開百花，預示萬物複蘇，春色滿園。

後兩句展現的則是風的形象與力度：狂卷千尺浪，猛推萬竿斜，可見風有多大的威力！

然而，從數學的角度看，他的這一立意其實也是很簡單的：他采用的技巧，不過是将所描寫内容，更換為起“風”的若幹個必要條件。

因為有風，就可以吹落秋葉；因為有風，就可以摧開春花；因為有風，就可以卷起江浪；因為有風，就可以推竹傾斜。這些現象，都是“風”的必要條件，多個必要條件湊在一起，就形成了“風”的景象。

無獨有偶，還有一首詩，采用的是同樣的手法，其詩如下：

忽聽門外竹聲搖，楊柳江邊擺尾梢，東園葉落西園地，樓花扯起萬丈高。

姑且不論這首詩的意境如何，其手法與上一首完全一緻，也是描寫 “風”的一些必要條件。

由以上兩例可以看出，當我們不想或不方便直接描述某些對象或現象時，可将其用“充分條件”或“必要條件”來代替，常常能産生獨特的效果。

例3、從前，古印度有一位皇帝很自負，有一次他鄭重其事向天下臣民昭告：如果有臣民能講一個故事他沒聽過的，他就會将自己的女兒嫁給他。此話一出，引得全國男人蜂擁而至，尤其是朝内貴族公子每天都準備好了精彩故事獻給皇帝，每一次别人講完故事皇帝都說聽過了，講故事的人自然也就娶不到皇帝的女兒。但因為可以見到皇帝，人們還是樂此不疲，皇帝也玩得很高興。

有一天，來了一位很聰明的農民，他講了一個故事，皇帝不得不說“沒聽過”，老老實實地把女兒嫁給了他。

你知道那位農民講了一個怎樣的故事嗎？

在介紹答案之前，我們來分析一下問題。

我們的目标是：講一個故事，使皇帝不得不說“沒聽過”。

這相當于故事中含有一個充分條件，在這個條件下，可推出皇帝的回答隻能是“沒聽過”。

從反面思考，這也就是說，若皇帝的回答“聽過”，則對皇帝更為不利。這也就意味着，皇帝回答“聽過”時蘊含了比嫁女兒更吃虧的事。

這樣，隻需一個事件，使皇帝“人财兩空”。于是，可在故事中構造這樣一個“陷阱”，讓皇帝既要嫁女兒，又要付出錢财。比如，虛構一個人說過：讓皇帝把女兒嫁給他，并付給他金币。

當然，故事中光有這一情節是不夠的，因為皇帝不一定“聽那個人的話”。現在，再找一個充分條件，讓皇帝必須聽那個人的話。這隻需“那個人的話”是先皇留下的“遺囑”即可。再注意到皇帝父親可能還健在，于是可構造虛拟的遺囑是皇帝爺爺留下的。

這樣，皇帝如果回答說“聽過”，那他就必須執行爺爺的遺囑，皇帝當然不會這麼做了。

于是，那個農民講了這樣一個故事——

他跟皇帝說：“我說一個真實的故事給陛下您聽，不知您有沒有聽過？”

皇帝很好奇，馬上叫他說。這位農民說：“陛下，從前你爺爺和我爺爺是非常要好的朋友，他們一起玩耍，一起做生意，那時我爺爺很有錢，你爺爺因為做生意向我爺爺借了100塊金币，他向我爺爺許諾，發達之後，要您将金币還給我并将你女兒嫁給我。陛下，這個故事您有沒有聽過啊？”

皇帝聽後，一下啞口無言，隻好乖乖的将女兒嫁給他。因為皇帝如果說聽過，按照他爺爺的許諾，不但要還金币而且要嫁女兒，所以隻能說沒聽過，也就把女兒嫁給了他。

其實，虛構的故事有很多可能，隻要虛構一個皇帝決不允許發生的遺囑即可。皇帝最不願發生的事情當然是别人篡奪皇位，據此，我們草拟了另外一個“故事”如下：

我爺爺曾救過您爺爺的命，為了感恩，您爺爺承諾：如果我有機會與您面對面交談，那麼，您應當将皇位讓給我。陛下，這個故事您有沒有聽過啊？

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