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添加輔助線是解決幾何證明和計算題的一種重要輔助手段，可以把題目化繁為簡，迅速證明或計算到所要的結論。本文就例題講解如何添加輔助線，希望能給大家帶來幫助。

四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，連接DF，G為DF的中點，連接EG，CG，EC；

(1)如圖1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關系及的值；

(2)将圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉至圖2所示位置，請問(1)中所得的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

1、證明四邊形CDFE為直角梯形

根據題目中的條件：四邊形ABCD是正方形，則∠BCD=90°；

根據題目中的條件：△BEF是等腰直角三角形，則∠BEF=90°；

根據平行線的判定：同旁内角互補，兩直線平行，∠BCD ∠BEF=180°，則EF∥CD；

根據題目中的條件和結論：EF≠CD，∠BEF=90°，EF∥CD，則四邊形CDFE為直角梯形。

2、根據題目中的條件和結論添加輔助線，構造等腰直角三角形中的重要線段

根據題目中的條件：G為DF的中點，四邊形CDFE為直角梯形，可以考慮構造梯形的中位線。

根據梯形中位線定理，可以計算中位線與兩底邊的關系，利用正方形、等腰直角三角形FEB中邊之間的關系，得到中位線與EC的關系。

同時，梯形的中位線也是需要證明的等腰直角三角形的中線，根據直角三角形的判定，可以證明∠EGC為直角。

根據梯形中位線定理，可以得到中位線垂直于EC，則中位線為EC的中垂線上的一段。根據中垂線的性質，可以得到EG=EC。

于是，這樣添加輔助線：取EC的中點M，連接GM。

3、證明△EGC為等腰直角三角形

根據梯形中位線的定理：梯形的中位線平行于梯形的底邊，中位線的長度等于梯形兩底邊的和，則GM∥EF，GM=(EF CD)/2；

根據題目中的條件：EF=EB，BC=CD，EC=EB BC，則GM=(EF CD)/2=(EB BC)/2=EC/2；

由輔助線：M為EC的中點，根據直角三角形的判定：如果一邊上的中線等于一邊的一半，則這個三角形為直角三角形，則∠EGC=90°，即EC⊥GC；

由題目中的條件和結論：∠FEB=90°，GM∥EF，根據平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，則∠GMC=∠FEB=90°，即GM⊥EC；

由輔助線和結論：EM=MC，GM⊥EC，所以GM在EC的中垂線上；

根據中垂線的性質：線段的中垂線上的點到線段兩端距離相等，則EG=GC；

所以，△EGC為等腰直角三角形，EG⊥GC，EC/GC=√2

1、根據題目中的條件添加輔助線，構造全等三角形和等腰直角三角形

根據題目中的條件：G為DF的中點，考慮構造兩組全等三角形：△FGE和△DGN、△EBC和△NDC。

利用正方形、等腰直角三角形FEB中邊之間的關系、角之間的關系和全等三角形的判定，證明兩組三角形全等。

根據全等三角形的性質，得到NC與EC的位置和大小關系，則構造出等腰直角三角形ENC，其中GC既是它的中線又是高，則△EGC也為等腰直角三角形。

于是，這樣添加輔助線：延長EG，取GN=GE，連接DN、CN。

2、證明△FGE≌△DGN

由題目中的條件和輔助線：FG=GD，EG=NG，∠FGE=∠DGN，根據全等三角形的判定（SAS），則△FGE≌△DGN；

3、證明△EBC≌△NDC

由結論：△FGE≌△DGN，根據全等三角形的性質：全等三角形對應邊、對應角分别相等，則ND=EF，∠EFG=∠NDG；

設AB交FD于點Q

由題目中的條件：GM∥EF，根據平行四邊形的性質：兩直線平行，同位角相等，則∠FQB=∠FDC；

由題目中的條件：∠BEF=90°，根據四邊形的内角和為360°，則四邊形EFQB的内角和：∠BEF ∠EFQ ∠FQB ∠QBE=360°，即∠QBE=270°-（∠EFQ ∠FQB）；

根據題目中的條件：∠EBC=∠QBE ∠ABC，∠ABC=90°，則∠EBC=270°-（∠EFQ ∠FQB） 90°=360°-（∠EFQ ∠FQB）；

根據題目中的條件：∠NDC=360°-(∠GDN ∠GDC)；

根據結論：∠EFG=∠GDN，∠FQB=∠GDC，則∠NDC=∠EBC；

根據結論：ND=EF，EF=BE，則ND=BE；

根據三角形全等的判定（SAS），則△EBC≌△NDC。

4、證明△ENC為等腰直角三角形

由結論：△EBC≌△NDC，根據全等三角形的性質：全等三角形對應角、對應邊分别相等，則∠ECB=∠NCD，NC=EC；

根據題目中的條件：∠DCB=∠ECB ∠ECD，則∠ECN=∠DCN ∠ECD=∠DCB=90°；

所以，△ENC為等腰直角三角形

5、證明△EGC為等腰直角三角形

由輔助線：EG=GN，根據等腰三角形三線合一的性質，則CG⊥EN；

由輔助線：EG=GN，根據直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，則CG=1/2EN=EG；

所以，△EGC為等腰直角三角形，EG⊥GC，EC/GC=√2

總之，合理添加輔助線是解決許多幾何題的前提，隻有認真審題、仔細分析，多加練習，才能快速準确地添加輔助線，解決幾何問題，輕松學數學。

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