寫在前面
《代數式》一節中,有許多概念十分容易混淆,代數式,單項式,多項式,整式,次數,系數,最高次項,常數項,等等,讓許多同學頭發昏,本講力求通過一些例題,幫你摸清其中的關系和易錯點.
一、概念辨析
1.代數式:
用基本運算符号把數或表示數的字母連接起來的式子.單獨一個數或一個字母也是代數式.(注:蘇科版教科書中無此定義,筆者結合其他版本教材整合得到)
2.單項式:
由數與字母的積組成的代數式,單獨一個數或一個字母也是.
3.單項式的次數:
單項式中所有字母的指數和.
單項式的系數:
單項式中的數字因數.
4.多項式:
幾個單項式的(代數)和.
5.多項式的項:
多項式中的每個單項式.
多項式的次數:
多項式中次數最高的項的次數.
常數項:
多項式中不含字母的項.
6.整式:
單項式與多項式的統稱.
7.式的分類:
二、易錯彙總
1、判斷代數式
例1
下列式子中,哪些是代數式?
50-m+n,a+b<4,2xy²,0.9,
x≥y,x+5=9,π,-a
分析:
代數式中,隻能含有運算符号,包括加、減、乘、除、乘方等.
不含“=”、“>”、“<”、“≥” 、“≤”等關系符号.單獨一個數或一個字母也是代數式.
解答:
50-m+n,2xy²,0.9,π,-a是代數式.
2、判斷單項式,多項式,整式
例2
分析:
解答:
3、單項式的系數和次數
例3
分析:
π是常數,非0常數 的次數是0,系數是其本身.
字母前無數字無負号,系數是1,無數字有負号,系數是-1.
字母上若無指數,則表示該字母指數為1,計算時不要遺漏.
單項式的系數包括它前面的符号,且隻與數字因數有關.而次數隻與字母有關.
解答:
4、多項式的項和次數
例4
分析:
多項式中的項,要帶上前面的符号.
對近似于分數形式的多項式,要将其拆分.
如果多項式中的有幾項的次數最高且相同,則這幾項都視作最高次項.
如果多項式中無單獨的數字,則無常數項.
如果一個多項式含有a個單項式,次數是b,這個多項式就叫b次a項式.
解答:
三、能力提升
例1
請你寫出所有系數為-2,含字母x,y,z,次數為5的單項式,能寫幾個?
分析:
本題是開放性題,系數确定,且次數為5,則說明字母x,y,z的指數和為5,要分情況讨論,我們不妨按x的指數由高到低排列,不難發現最高為3,最低為1,相應的,y,z的指數也可由高到低排列.
解答:
變式
寫出一個關于x的二次三項式,滿足一次項系數是-3,二次項系數是2,常數項是-5.
分析:
本題是确定性題,隻含有字母x,不含其它字母,注意,我們可以按每一項的次數由高到低排列.
解答:
例2
分析:
都是七次單項式,說明每個單項式的次數都是7,即每個單項式中所有字母的指數和為7,我們可以建立一個關于m,n的方程組.
注意,從現在起,我們可以給這樣的m,n一個名稱,參數,即用于代替一個數的字母,通俗的說,把它看作一個參與運算的數字即可,因為最後我們可以求出它的值.
解答:
例3
分析:
不難發現,多項式的第一項是二次項,那麼第二項也必然是二次項,次數為2,第二項的系數為-4,則第一項的系數為4.
解答:
例4
分析:
粗看本題,這有了加法運算,明明是一個多項式嘛,為何說它是單項式呢?我們可以觀察到第二項,它的次數是2,即二次項,顯然,原式不能含有二次項,即二次項的系數為0,才符合題意,是一個單項式了.值得注意的是,這一項的系數,要把前面的符号帶入!
解答:
變式
分析:
同理,這粗看是二次三項式,要滿足其為一次二項式,二次項系數必為0,同時,常數項不能丢,否則就變成了單項式.
解答:
這個一次二項式是-3x 2
★ 反思★
這兩道題的關鍵突破口在哪呢?都在于題幹的說法與所給式子相比,缺項了!
例4中,所給題幹粗看是兩項,說法卻是單項式!
變式中,所給題幹粗看是三項,說法卻是二項式!
因此,必然是某一項缺少,找出這一項後,其系數必然為0!
“缺項”問題還可以再變,下一講,我們繼續!
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