寫在前面

《代數式》一節中，有許多概念十分容易混淆，代數式，單項式，多項式，整式，次數，系數，最高次項，常數項，等等，讓許多同學頭發昏，本講力求通過一些例題，幫你摸清其中的關系和易錯點．

一、概念辨析

1．代數式：

用基本運算符号把數或表示數的字母連接起來的式子．單獨一個數或一個字母也是代數式．(注：蘇科版教科書中無此定義，筆者結合其他版本教材整合得到)

2．單項式：

由數與字母的積組成的代數式，單獨一個數或一個字母也是．

3．單項式的次數：

單項式中所有字母的指數和．

單項式的系數：

單項式中的數字因數．

4．多項式：

幾個單項式的(代數)和．

5．多項式的項：

多項式中的每個單項式．

多項式的次數：

多項式中次數最高的項的次數．

常數項：

多項式中不含字母的項．

6．整式：

單項式與多項式的統稱．

7．式的分類：

二、易錯彙總

1、判斷代數式

例1

下列式子中，哪些是代數式？

50－m＋n，a＋b＜4，2xy²，0.9，

x≥y，x＋5＝9，π，－a

分析：

代數式中，隻能含有運算符号，包括加、減、乘、除、乘方等．

不含“＝”、“＞”、“＜”、“≥” 、“≤”等關系符号．單獨一個數或一個字母也是代數式．

解答：

50－m＋n，2xy²，0.9，π，－a是代數式．

2、判斷單項式，多項式，整式

例2

分析：

解答：

3、單項式的系數和次數

例3

分析：

π是常數，非0常數 的次數是0，系數是其本身．

字母前無數字無負号，系數是1，無數字有負号，系數是－1．

字母上若無指數，則表示該字母指數為1，計算時不要遺漏．

單項式的系數包括它前面的符号，且隻與數字因數有關．而次數隻與字母有關．

解答：

4、多項式的項和次數

例4

分析：

多項式中的項，要帶上前面的符号．

對近似于分數形式的多項式，要将其拆分．

如果多項式中的有幾項的次數最高且相同，則這幾項都視作最高次項．

如果多項式中無單獨的數字，則無常數項．

如果一個多項式含有a個單項式，次數是b，這個多項式就叫b次a項式．

解答：

三、能力提升

例1

請你寫出所有系數為－2，含字母x，y，z，次數為5的單項式，能寫幾個？

分析：

本題是開放性題，系數确定，且次數為5，則說明字母x，y，z的指數和為5，要分情況讨論，我們不妨按x的指數由高到低排列，不難發現最高為3，最低為1，相應的，y，z的指數也可由高到低排列．

解答：

變式

寫出一個關于x的二次三項式，滿足一次項系數是－3，二次項系數是2，常數項是－5．

分析：

本題是确定性題，隻含有字母x，不含其它字母，注意，我們可以按每一項的次數由高到低排列．

解答：

例2

分析：

都是七次單項式，說明每個單項式的次數都是7，即每個單項式中所有字母的指數和為7，我們可以建立一個關于m，n的方程組．

注意，從現在起，我們可以給這樣的m，n一個名稱，參數，即用于代替一個數的字母，通俗的說，把它看作一個參與運算的數字即可，因為最後我們可以求出它的值．

解答：

例3

分析：

不難發現，多項式的第一項是二次項，那麼第二項也必然是二次項，次數為2，第二項的系數為－4，則第一項的系數為4．

解答：

例4

分析：

粗看本題，這有了加法運算，明明是一個多項式嘛，為何說它是單項式呢？我們可以觀察到第二項，它的次數是2，即二次項，顯然，原式不能含有二次項，即二次項的系數為0，才符合題意，是一個單項式了．值得注意的是，這一項的系數，要把前面的符号帶入！

解答：

變式

分析：

同理，這粗看是二次三項式，要滿足其為一次二項式，二次項系數必為0，同時，常數項不能丢，否則就變成了單項式．

解答：

這個一次二項式是－3x 2

★ 反思★

這兩道題的關鍵突破口在哪呢？都在于題幹的說法與所給式子相比，缺項了！

例4中，所給題幹粗看是兩項，說法卻是單項式！

變式中，所給題幹粗看是三項，說法卻是二項式！

因此，必然是某一項缺少，找出這一項後，其系數必然為0！

“缺項”問題還可以再變，下一講，我們繼續！

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