19.7 空間向量運用：1、直線的方向向量和平面的法向量1.直線的方向向量：若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.2.平面的法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那麼向量叫做平面的法向量.3.平面的法向量的求法（待定系數）：(1)建立适當的坐标系．(2)設平面的法向量為．(3)求出平面内兩個不共線向量的坐标．(4)根據法向量定義建立方程組.

(5)解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.

2、用向量方法判定空間中的平行關系1.線線平行：設直線的方向向量分别是，則要證明∥，隻需證明∥，即. 即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。2.線面平行(1)設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，隻需證明，即.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外(2)要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面内找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.3.面面平行:若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，隻需證∥，即證. 即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關系1.線線垂直:設直線的方向向量分别是，則要證明，隻需證明，即. 即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。2.線面垂直(1)設直線方向向量是，平面法向量是，則要證明，隻需證明∥，即.(2)設直線的方向向量是，平面内的兩個相交向量分别為，

即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面内兩條不共線直線的方向向量都垂直。3.面面垂直:若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，隻需證，即證. 即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。19.7 空間向量運用：4、利用向量求空間角1.求異面直線所成的角:已知為兩異面直線，A，C與B，D分别是上的任意兩點，所成的角為，則

2.求直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做該斜線和這個平面所成的角(2)求法：

設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的餘角或的補角的餘角.即有：

3.求二面角的平面角(1)定義：平面内的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面

二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分别在兩個半平面内作射線，則為二面角的平面角.(2)求法：設二面角的兩個半平面的法向量分别為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角的平面角為的夾角或其補角根據具體圖形确定是銳角或是鈍角：如果是銳角，

如果是鈍角，

5、利用法向量求空間距離1.點到直線距離:若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，

，則點Q到直線距離為

2.點到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面内任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即

3.直線與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。即

4.兩平行平面之間的距離兩平行平面間的距離處處相等，兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即

5.異面直線間的距離設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即

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