前面，我們在《無理數的認識》那一講中曾經談到，人們知道無理數已經有很長的曆史了，可是要清晰地表達無理數卻是相當困難的。事實上，要能夠清晰地表達無理數，首先要變換有理數的表達方式。我們曾經稱可以表示為m/n的數為有理數，其中m,n∈Z，n≠0。當然，在這個基礎上是可以定義無理數的，比如，稱不能表示為分數形式的數為無理數，但是這個定義實在是很難判斷，特别是與數軸之間很難建立起對于關系。因此，我們首先建立能與數軸對應的有理數的定義，這就需要用小數來定義有理數。那麼，分數與小數之間有什麼關系呢？一個(0,1)上的小數可以一般地表示為

A=0.a₁a₂...a_p （1）

或者

B=0.a₁a₂...a_p... （2）

兩種形式，其中a₁，a₂，...，a_p是取值0或者1到9的自然數。我們稱A為有限小數，B為無限小數。可以發現，有的分數可以化為有限小數，有的分數雖然不能化為有限小數，但是去能化為循環的無限小數，比如，

1/2=0.5

1/3=0.333...

1/6=0.1666...

1/7=0.142857142857...

等等。這個表達是不是具有一般性呢？也就是說，是否“所有的分數都可以化為有限小數或無限循環小數”呢？答案是肯定的，我們來證明這個結論。

考慮分數m/n，不失一般性，我們假定m<n。如果這個分數能夠化為有限小數，那麼，結論成立。如果不能化為有限小數，用m除以n必有餘數，并且這個餘數隻能取1和n-1之間的整數。由除法的運算法則，有餘數後的除法都是加0填位，因為運算規律是一樣的，因此，最多n次運算後，某個餘數必然還要出現第二次，并且以後都是以周期形式出現，這就形成了循環小數。于是我們證明了：所有的分數都可以化為有限小數或者無限循環小數。

那麼，現在是否就可以用“有限和無限循環小數”來定義有理數呢？為時過早，如果要對一個已有的定義構造一個新的定義，那麼，這個新的定義的前提與結論必須是充分必要的，因為隻有這樣才能保持定義的等價性，為此，我們還需要證明“有限小數或者無限循環小數都能化為分數”。由（1）式，一個有限小數可以寫為

A=a₁/10 a₂/10² ... a_p/10^p

這顯然可以對應于一個分數。一個無限循環小數可以分為兩部分，一部分是前面有限個（可以是0個）不循環項，然後是無限個循環項，不失一般性，我們假定無限循環小數是由循環項構成的，這樣，（2）式可以寫為

B=0.a₁a₂...a_p a₁a₂...a_p a₁a₂...a_p...

=a1(1/10 1/10^{q 1} 1/10^{2q 1} ...) ... aq(1/10^q 1/10^2q ...)

=C(1 1/10^q 1/10^2q ...)

其中，C=0.a₁a₂...a_p，括号中是一個等比級數，公比是1/10^q，其中q≧1。用s_n表示前n項部分和，即

s_n=1 1/10^q 1/10^2q ... 1/10^nq

=[1-1/10^{q(n 1)}]/(1-1/10^q)

因為1/10^q<1，容易驗證當n→∞時s_n→1/1-1/10^q，因此

B=0.a₁a₂...a_p/1-1/10^q

這顯然是一個分數，因而是一個有理數。

現在，我們可以給出有理數的基于小數的定義了：“有理數是有限小數或者無限循環小數”。進而可以得到無理數的定義：“無理數是無限非循環小數”。在這個基礎上，可以得到實數的定義：“有理數和無理數統稱為實數”。我們用R表示實數的全體所構成的集合。我們終于把實數刻畫清楚了，并且還知道實數是與數軸上的點對應的。

我們還需要通過建立實數的運算來檢驗這種實數的定義是否合适。顯然，這個運算是以有理數的四則運算為基礎的，而重點是解決無理數的運算。以√2與√3的運算為例，下面是利用計算器計算的結果。由√2=1.4142135...和√3=1.7320508...，可以得到

√2 √3=1.4142135... 1.7320508...

=3.1462643...

√2•√3=（1.4142135...）•（1.7320508...）

=2.4494896...

因此，利用“無限非循環小數”定義無理數進行四則運算是可行的。事實上，在計算機中就是這樣進行運算的。

但是，我們應當如何證明√2•√3=√6呢？當然可以計算出√6=2.4494896...，雖然這個結果與上面的計算結果很接近，但是這樣依賴驗證的方法來證明無窮的情況是不合适的，并且得不到一般性的結果，即無法證明對于所有的正實數a和b均有√a•√b=√a•b。所有，用無限非循環小數定義無理數是直觀的，對于運算也是可行的，但對于給出證明，特别是給出一般性的結果是不方便的。

為了解決上面的問題，從魏爾斯特拉斯開始，以後有許多數學家，包括德國數學家戴德金，康托，在1872年左右幾乎同時發表文章，建立他們的實數理論。接下來，我們一起來了解一下兩個主要的方法，他們是“基本序列方法”和“戴德金分割方法”。

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