近些年的中考中，經常出現動點的運動軌迹類問題，通常出題以求出軌迹的長度或最值最為常見。很多考生碰到此類試題常常無所适從，不知該從何下手。

其實初中階段如遇求軌迹長度僅有2種類型："直線型"和"圓弧型"（兩種類型中還會涉及點往返探究"往返型"），對于兩大類型該如何斷定，通常老師會讓學生畫圖尋找3處以上的點來确定軌迹類型進而求出答案，對于填空選擇題而言不外乎是個好方法，但如果要進行說理很多考生難以解釋清楚。

類型1 軌迹為直線型最值問題

1．（2019春•姑蘇區期末）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為4cm，點M、N分别在邊AB、CD上．将該紙片沿MN折疊，使點D落在邊BC上，落點為E，MN與DE相交于點Q．随着點M的移動，點Q移動路線長度的最大值是（　　）

A．2 cm B．4 cm C．√2 cm D．1 cm

【解析】如圖，取AB、CD中點K、G，連接KG、BD交于點O．

由題意可知點Q運動的路線就是線段OG，

∵DO＝OB，DG＝GC，∴OG＝1/2BC＝1/2×4＝2．

∴點Q移動路線長度的最大值是2．故選：A．

2．（2018秋•西安期末）如圖，在平面直角坐标系中，x軸上有一點B（10，0），點M由點B出發沿x軸向左移動，以BM為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形AMB，則點M在運動過程中，OA的最小值為_________．

【解析】：如圖，過點O作OE⊥AB于點E，

∵△AMB是等腰直角三角形，∴∠ABM＝45°，

∴點A在與OB成45°角的直線BE上移動，

∴當點A與點E重合時，OA的值最小，

∵OE⊥AB，∠ABO＝45°，

∴∠EOB＝45°＝∠EBO，∴OE＝BE，

∴OB＝√2OE＝10，∴OE＝5√2，∴OA的最小值為5√2．

3．（2019•常熟市二模）已知x軸上一點A（1，0），B為y軸上的一動點，連接AB，以AB為邊作等邊△ABC如圖所示，已知點C随着點B的運動形成的圖形是一條直線，連接OC，則AC OC的最小值是_______．

【解析】如圖所示，在第四象限以OA為邊長作等邊△AOD，

連接OD，并作直線CD，延長AD交y軸于點A'．

∵等邊△ABC、等邊△AOD，

∴AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD＝60°。

∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，∴∠BAO＝∠CAD.

在△BAO和△CAD中，AB=AC, ∠BAO＝∠CAD,AO=AD，

∴△BAO≌△CAD（SAS）,∴∠AOB＝∠ADC.

∵∠AOB＝90°,∴∠ADC＝90°,∴CD⊥AD.

∴點C随着點B的運動形成的圖形是直線CD.

∵∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°,

∴∠AA'O＝30°. ∴OA＝1/2AA',∴AD＝OA＝1/2AA',

∴點D是AA'的中點.

∵CD⊥AD,∴CD是AA'的中垂線.∴AC＝A'C,∴AC OC＝A'C OC.

又∵點C在直線CD上運動，所以點O、C、A'三點共線時，A'C OC的值最小，最小值為OA'的長．

在R△AOA'中，∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°，OA＝1，OA'＝√3OA＝√3，

∴AC OC的最小值為√3．

故答案為√3．

類型2 軌迹為圓弧型最值問題

4．（2018秋•德清縣期末）如圖，以G（0，2）為圓心，半徑為4的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，點E為⊙G上一動點，且點E在第一象限，CF⊥AE于點F，當點E在⊙G的圓周上運動的過程中，線段BF的長度的最小值為（　　）

A．3 B．2√3﹣2 C．6﹣2√3 D．4﹣√3

【解析】：連接AC、BC，如圖所示：

∵以G（0，2）為圓心，半徑為4的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，

∴OC＝6，OG＝2，AG＝4，OA＝OB，AC＝BC，

5．（2019•南充中考題）如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在y軸的正半軸及原點上滑動，頂點B在x軸的正半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB＝24，BC＝5．給出下列結論：①點A從點O出發，到點B運動至點O為止，點E經過的路徑長為12π；②△OAB的面積最大值為144；③當OD最大時，點D的坐标為（25√26/26，125√26/26）．其中正确的結論是______．（填寫序号）

【解析】①由條件可知AB＝24，則AB的中點E的運動軌迹是圓弧，最後根據弧長公式即可計算出點E所經過的路徑長；②當△OAB的面積最大時，因為AB＝24，所以△OAB為等腰直角三角形，即OA＝OB，可求出最大面積為144；③當O、E、D三點共線時，OD最大，過點D作DF⊥y軸于點F，可求出OD＝25，證明△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA，可求出DF長，則D點坐标可求出．故答案為：②③．

6.（2019秋•河西區期末）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，将射線AC繞點A按順時針方向旋轉α度（0＜α≤360°），得到射線AE，點M是點D關于射線AE的對稱點，則線段CM長度的最小值為______．

【解析】：如圖所示：連接AM．∵四邊形ABCD為正方形，∴由勾股定理可求得AC＝√2．∵點D與點M關于AE對稱，∴AM＝AD＝1．

∴點M運動的軌迹是在以A為圓心，以AD長為半徑的圓上．

如圖所示，當點A、M、C在一條直線上時，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝√2﹣1，故答案為：√2﹣1．

7．（2019秋•南通期中）如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧BC上的一個點，連接AP，過點C作CD⊥AP于點D，連接BD，在點P移動過程中，BD長的最小值為______．

直線型軌迹如何尋，任畫三點定軌迹，此法适用選填題，要知它法往下尋。

如遇定點和定角，夾角定位來搞定，如遇定線和定距，平行定距把它解。

圓弧型軌迹如何尋，通過定點 定長⇒圓, 定線 定角⇒圓兩個模型确定。

動點路徑問題中，核心方法是尋找定點、定線、定長、定角等，再根據線與圓的基本概念及基本性質确定運動軌迹所形成的圖形.

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