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如何通過參數方程求二階導數

生活更新时间:2025-01-24 06:09:57

對于函數f(x)，其導數記為f'(x)，對導數再一次求導，記為f''(x)，被稱為二階求導。（高中老師都說，這是二次求導，好吧，二次就二次吧，無所謂）

那麼我們自然就會想，再求導下去會發生什麼現象？

笨，那不就是三階、四階……導數嘛。

對哦，我們總不能寫f'''''''''''''(x)吧，數點點也會數暈的哦，簡記成

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）1

先看一個最簡單的例子，

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）2

再舉個稍微複雜例子。

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）3

我們發現，三角函數y=sinx的高階導數是個周期變化。既然是周期變化，我們就可以做這樣的變形。

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）4

加油，來個更複雜的例子。

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）5

最後來一個超級複雜的例子，看好了。

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）6

這個例子更深刻的意味是，對于兩個函數相乘，它的高階導數怎麼求？

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）7

我發現，它們的系數居然有這樣的規律

二階導數：1 2 1

三階導數：1 3 3 1

那麼四階導數的系數就猜測為：1 4 6 4 1

驗證下：

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）8

居然是正确的，那麼我們得到了一個特别爽的定理!

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）9

根據這個公式代入本例即可得

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）10

娘啊，這公式長得太像二項展開式了，回憶中是這樣。

如何通過參數方程求二階導數（二項式定理與高階求導）11

根據高考出卷人所聲稱的：我們的考題“來源于教材，但不拘泥于教材”。

突然有種細思極恐，不寒而栗的冷汗從後背滲出。

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