黃金分割

分數法在本質上是一種對稱的方法。在這裡，我們通過讨論研制點心的問題來說明分數法，我們需要在給定的區間内選定一些點，在這些點上安排試驗。分數法每次選兩個點，這兩個點關于區間[a，b]中心點是對稱的。具體表示如下：

x₁=a p(b-a),x2=a b-x₁

其中p為給定的分數，通常取p=1/3，稱這種方法為分數法。因為區間的中心點為x₀=a (b-a)/2，當p<1/2時，容易得到：

a<x₁< x₀< x₂<b,x₂-x₀=x₀-x₁

所以，這兩個點是關于中心點對稱的，如圖(1)所示

圖(1) 線段分割示意圖

在兩個選定的點上安排試驗，如果得到f(x₁)<f (x₂)，則認為合适點即合适的糖的比例在x₁和b之間，用x₁代替a；否則，則認為合适點在a和x₂之間，用x₂代替b。然後，在新構建的區間上重複上面的操作。顯然，這樣的操作是可以持續做下去的，最終可以得到滿意的結果。

許多學者，比如華羅庚( 1910～1985)推薦在上述方法中取p=1-0. 618=0. 382，并且稱這樣的方法為優選法。其中0. 618是一個很重要的數，這個數是我們曾經讨論過的方程

x² x-1=0 (1)

的一個近似解。從求根公式知道，這個方程的正解為(√5-1)/2，這個解是一個無理數，可以表示0.618033988，因此近似值為0.618.這個數就是大名鼎鼎的黃金分割數。我們來分析這個方程的意義。

歐多克索斯

考慮按比例把一條線段分為兩個部分的問題。不失一般性，令線段的長度為1，分為兩部分中有一部分為x，那麼另一部分就是1- x。據說，古希臘柏拉圖學派的歐多克索斯（約前400～前347）研究過這個問題。．正如我們在《圖形與圖形關系的抽象》中介紹過的那樣，歐多克索斯深入地研究過線段的比例問題，許多研究專家分析，歐幾裡得《幾何原本》中的第V卷和第Ⅻ卷的主要内容就是取材于歐多克索斯的研究。歐多克索斯認為，如果線段的長度之間滿足下面的比例，那麼得到的線段分割是最完美的，并稱其為黃金分割(Golden Section)。這個比例為：

x：1= (1-x)：x

根據這個比例容易得到方程(1)，因此方程的解就是黃金分割的比例，容易驗證

(√5-1)/2：1=[1-(√5-1)/2]:(√5-1)/2

是滿足黃金分割的要求的。人們經常把黃金分割的原理用于造型藝術設計，比如藝術品長與寬的比例；建築物上線段的比例，門窗長與寬的比例，等等。畫家達·芬奇( 14 52～1519)在他的繪畫中不僅使用了投影的方法，也較多地使用了黃金分割，據說他的名畫《蒙娜麗莎》中的臉就符合黃金分割的原理。

斐波那契

數值0. 618還與一個重要的數列極限有關。意大利數學家斐波那契(1170～1250)曾經周

遊地中海沿岸諸國，我們在《數的表示》中曾經介紹過，他回國後于1202年出版《算經》一書，把印度的十進制的計數方法介紹給了歐洲。事實上，1228年他在《算經》的修訂本中又加上了下面的“兔子問題”：

“某人在一處有圍牆的地方養了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而出生後兩個月就能生育。問從這對兔子開始，一年内能繁殖多少對兔子？”

如果把這個問題一般化，就形成了著名的“斐波那契數列”：

1,1,2,3 ,5,8,13, 21,34,55 ,89 ,144,…

下面，我們來分析斐波那契數列。如果用h(n)表示上述數列的第n項，那麼這個數列的通項公式可以表示為：

h(n)=h(n-1) h(n-2)

非常有趣的是，這個數列前後兩項比值的極限近似為0.618,即當n→∞時，極限a=limh(n-1)/h(n)存在并且近似值為0.618。我們來證明這個結果。因為可以認為當：n→∞時，limh(n-1)/h(n)=limh(n-2)/h(n-1)=a。在通項公式的等号兩邊同時除以h(n-1)後取極限，可以得到：1/a=1 a，這正是方程(1)的形式，于是就得到了我們所要的結論。

與任意取點安排試驗的方法比較，分數法或者優選法是一種有目的選點的方法，這樣的方法，在同樣的精度下，可以減少試驗次數，因此可以減少經費和人力。或者說，在同樣的試驗次數下，可以提高試驗的精度。但是，利用分數法安排試驗，每次試驗之前必須知道上一次試驗的結果，這樣在整體上就可能會延長試驗的時間。由此可見，在實際問題中一個普遍好的方法往往是不存在的，需要我們具體問題具體分析，尋找一個針對“這個”問題合适的方法。從哲學層面考慮，似乎“具體問題具體分析”有悖于數學強調的“普适性”。事實并不是這樣，如果一個放之四海而皆準的好方法不存在，那麼我們隻能退而求其次，而退而求其次中最好的方法就是“分類”。也就是說，我們希望尋求一種方法，使得這個方法在盡可能大的類中是好的，比如我們上面讨論的問題，如果不突出強調時間，那麼可以用分數法；如果突出強調時間，那麼可以用任意取點的方法。當然，還可以根據問題的背景創造新的方法，比如分批試驗的方法，逐步随機試驗的方法等等。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!