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我想你肯定好奇過，地圖上很少有形狀規則的國家，那麼這些國家的面積是怎麼測量出來的呢？特别是在沒有計算機技術的年代？

今天就通過一個勺子，來解答你的這個疑問。

關鍵概念

斧狀求積儀

材料和操作

一根木棍

2個不同重量的鐵釘或者一個金屬湯勺

制作很簡單，隻要一根木棍，兩端分别釘入2個重量不同的鐵釘就可以了，其中一個鐵釘要特别重一點，盡量讓棍子的重心靠近這個釘子。做成差不多這樣子：

這個數學工具最有意思的地方在于它的使用過程。

1. 把輕的釘子放在圖形的邊緣上的一點B，重的釘子放在C點。

2. B沿着圖形移動，最後回到起始點。

3. 量一下C的起始和最終位置間的距離 D。量一下棍子本身的長度 L。

圖形的面積 ≈ L × D

如果你不想做一個斧狀求積儀，用一個比較重的金屬勺子也可以代替。

看下面這個捷克的網友 Robert Mařík 用同樣的測量方法，計算四分之一個圓的面積。

按照他的測量，勺子求積儀測得的面積是0.75，和積分法算得的面積（π/4）的誤差約為5%。

你還可以利用各種材料制作斧狀求積儀——

瑞士軍刀也行——

• 原理

美索不達米亞的粘土片和埃及的莎草紙證明，人類很早就開始處理面積的問題。

美國第16次人口普查（1940 - 1941年）時，工作人員利用求積儀計算面積。@The U.S. National Archives

大約在2百年前，人類發明出了能準确計算不規則圖形面積的方法，它就是求積儀。求積儀是通過畫形狀邊界線的方式計算面積的數學工具，主要分成兩種。

第一種求積儀再沿着邊界線滑動的過程中，通過積分來計算面積。這類工具常常用來不規則的圖形，某個城鎮的面積，或者用來測量機器的效率。這類求積儀的計算比較準确。

^{機械求積儀@AMS}

另一類求積儀雖然也繞着形狀邊緣畫線，但是它對面積僅僅進行了估算。我們制作的斧狀求積儀就屬于這類。

^{20世紀初制造的斧狀求積儀@Bob Otnes}

斧狀求積儀是丹麥數學家，騎兵軍官 Holger Prytz 在1875年發明的。1887年，丹麥哥本哈根的 Cornelius Knudsen 公司就開始制造斧狀求積儀。

實際上早在1814年，就有人發明了求積儀，後來瑞士數學家 Jakob Amsler-Laffon 在1854年發明的第一類求積儀已經比較接近現代版本了。

^{瑞士數學家 Jakob Amsler-Laffon 在1854年發明的求積儀}

但是 Prytz 的版本更加經濟方便，雖然比 Amsler 的求積儀要不準确一些。

那麼，斧狀求積儀是怎麼算出圖形面積的呢？

從數學上來說，斧狀求積儀首先利用曳物線（簡單來說，一個物體被另一個物體用棍子拖着走時，領先的那一端畫出的曲線）對導數進行了近似，并且利用格林公式（Green’s theorem）來求解面積。

面積 ≈ 重的那一頭的位移 × 斧狀求積儀的長度。

不過，斧狀求積儀是近似求解面積，它存在誤差。誤差和斧狀求積儀的長度，以及你畫圖時的方向（順時針還是逆時針）有關。我們看這樣一個例子。

^@wabash.edu

假設斧狀求積儀繞着橢圓轉了一周。橢圓的長徑是4，短徑是2，斧狀求積儀的長度是5，重的那點移動的距離是紅色的這一段圓弧。

紅色圓弧的長度是1.59，因此用斧狀求積儀計算得到的橢圓面積是：

1.59 × 5 = 7.94。

直接用橢圓的長徑和短徑和算得的橢圓面積是2π，也就是6.28。誤差達到了26%。

這是為什麼呢？

這是因為斧狀求積儀相對于要計算的面積太短了。如果用長度為10的斧狀求積儀來測量，那麼得到的面積是7，誤差縮小至11%；如果用長度為20的斧狀求積儀測量，那麼求得的面積是6.62，誤差隻有5.3%。

實際上，誤差和斧狀求積儀的長度約成反比，因此用較大的斧狀求積儀測量比較小的面積會更準确。

另外，斧狀求積儀旋轉的方向對測量結果也有影響。如果長度為5的斧狀求積儀從同一個起點，用順時針繞着同樣的橢圓旋轉，那麼測得的面積是6.77，誤差是7.8%，比逆時針時要小。

再來看看斧狀求積儀沿着其他規則形狀得到的軌迹——

^@wabash.edu

好啦，今天就到這裡了，可以找好工具，拿張地圖，快去測量一下你的家鄉有多大的面積吧。

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^{撰文 | 實驗君}

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來源：新華号 萬物雜志

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