讀創/深圳商報記者 陳姝

2月4日12時，《張朝陽的物理課》第二十五期如期開播。搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，開講諧振子問題。經曆了前幾節課對薛定谔方程的詳細求解，這節課先是回顧了最初的氫原子的二體薛定谔方程的質心運動與相對運動的分解、角向與徑向的分解，最終求得完備算符集的共同本征函數，得到氫原子的波函數和相應的能級，并且從氫原子拓展到其它多電子原子。接着張朝陽開始讨論與氫原子問題同樣重要的諧振子模型，簡介了其重要性與普偏性，并預告下節課将要推導的諧振子能級及其應用。

恰逢正月初四，張朝陽在直播間先給網友拜年，“我們花了很多課，來講量子力學和氫原子問題。”他說，“今天，我們要來讨論與氫原子同等重要的諧振子問題。我們來認識一下它的重要性和普遍性。”

回顧氫原子問題 跳出細節、俯瞰全局

張朝陽帶着網友複習之前講過的重點内容。“氫原子是電子和質子由于庫倫勢的吸引而組成的，是二體系統。”他介紹說，“這種系統的薛定谔方程不好直接求解。”

此前的課程揭示，解決思路并不複雜。由于庫倫勢隻跟電子和質子之間的相對距離有關，所以，可将二體系統的定态薛定谔方程，分解為質心運動部分與相對運動部分。質心運動部分非常容易直接求解，并且與氫原子的内部結構無關。重點隻需關注相對運動部分的定态薛定谔方程。

為了更便捷地求解，張朝陽引入角動量算符的概念，他表示，“相對運動的哈密頓量算符，可表示為徑向動能與角動量算符的平方的組合。”通過繁複的公式推導，他和網友們得出一個結論：哈密頓算符，角動量算符的平方，以及角動量算符的z分量，三者是相互對易的，它們構成一組完備的算符集。“也就是說，隻需求得算符集的共同本征函數，即可求得定态薛定谔方程的解。”他說。

他繼續解說，由于電子與質子之間的庫倫勢，與它們之間的方位無關，隻與相對距離有關，故相對運動部分的定态薛定谔方程，可分為角向部分與徑向部分。通過求解角動量算符的平方與角動量算符的z分量的共同本征函數，可求得角向部分的波函數，以及相應的分立的量子數。至于徑向部分，則可通過分析r趨于0與r趨于無窮時候的漸進行為和邊界條件對徑向薛定谔方程進行變形與化簡，最終用級數展開的方法求得徑向波函數及對應的量子數，并最終求得氫原子的能級。

他告訴網友，“根據分離變量法，将求得的角向波函數與徑向波函數乘起來，就得到了完整的氫原子波函數，從而完成氫原子薛定谔方程的求解。”

研究多電子原子 考慮庫倫排斥引入屏蔽效應

“完成氫原子薛定谔方程的求解，并得到氫原子的波函數和能級後，就能知道原子核外電子如何繞核運動。”他解釋說，解得的氫原子波函數用三個量子數描述，分别為主量子數n，角量子數l與磁量子數m。能級隻與n有關，在同一能量下，角量子數可取n個值，從0取到n-1，電子繞核運動的軌道分别命名為ns，np，nd，nf…..；在确定的角動量l下，磁量子數m可取2l 1個值，從-l到 l。

張朝陽将氫原子的這些電子軌道擴展到多電子原子體系。“氫原子以外的其他原子都有多個電子，電子之間有排斥的庫倫相互作用，定量地直接求解這些三體以上的薛定谔方程是非常困難的，”他指出問題所在和解決方法，“這裡就做一些近似與假設，來定性地讨論。”

“先來看除了氫原子以外最簡單的原子，氦原子。”他帶着網友一步一步推導。氦原子的兩個電子都在1s層，假設它們是球形分布在原子核周圍的，由于電子之間的庫倫排斥力，其中一個電子感受到的原子核電荷數将受到屏蔽，通過變分法計算，氦原子的電子感受到的核電荷數Z不再是2，而是27/16。于是可以等效地認為電子之間相互獨立，隻是它們感受到的核電荷數會由于屏蔽而減小。

再看锂原子，它有三個電子，根據泡利不相容原理以及上述讨論的量子數取值範圍，1s軌道隻能填充兩個不同自旋取向的電子，第三個電子隻能被擠到2s軌道了。但由于2s軌道在1s軌道外面，内層的兩個電子會強烈屏蔽2s電子感受到的核電荷數，經過簡單計算與分析，雖然2s電子感受到的核電荷數不是簡單地減小2，但受到的屏蔽效應遠遠比氦原子電子受到的同一層電子的屏蔽效應要大得多。

通過解釋氦原子與锂原子，張朝陽告訴網友，同一殼層電子的屏蔽與不同殼層的屏蔽後，就可以定性地知道其它多電子原子的核外電子如何排布了，從而對一些化學問題得到初步的解釋。

振動、聲子與比熱 從諧振子模型說起

“除氫原子外，諧振子也是量子力學中非常重要的研究對象，并且其薛定谔方程跟氫原子一樣有解析解。”張朝陽繼續講解，諧振子模型中物體振動時的恢複力，與物體偏離平衡位置的距離成正比，并且受力方向總是指向平衡位置。對于一個有穩定平衡點的體系，在勢能極小值點附近常常可以近似為諧振子勢，這一模型體系在物理中非常普遍的。

例如經典力學中，聲波裡空氣的振動，彈鋼琴時琴弦的振動、小角度的單擺；又例如量子力學中的黑體輻射，雙原子分子的振動動，超導體中的聲子等等。張朝陽還預告下節課将求解諧振子薛定谔方程并得到相應能級。

他解釋，其中，n是大于等于0 的整數，也就是說諧振子的能級是分立且等間距的，這與經典力學非常不同，但是與普朗克推導黑體輻射時的假設一緻，從而得到正确的黑體輻射公式。

另外需要注意的是，諧振子能量的最小值不為0，這能解釋雙原子分子的比熱問題。雙原子分子有三個質心平動自由度、兩個轉動自由度、一個振動自由度，除了這些動能的自由度外，雙原子分子之間的一個振動自由度對應的勢能也可以儲存能量，也貢獻一個自由度，這樣一共有7個自由度，按照能均分定理，其總内能應該是7/2kT，但是實驗測其比熱容表明其内能是5/2kT。

這正是因為振動能的最小值不為0，并且比其它自由度的最小激發能都大，在常溫下分配給各個自由度的能量隻夠激發其它自由度的能量，有關振動的自由度被凍結了，于是有效的自由度從5變成7了。

他說，“總之，求解諧振子的薛定谔方程，不僅能再次熟悉薛定谔方程的解法，得到的結論還有非常多的物理應用，所以下節課将對其展開深入的研究。”

搜狐視頻發力知識直播 傳播知識玩轉科學

自11月5日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十多期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數；第三、四課和“振動”相關，科普可見光的基本知識；第五、六課引發了關于音速和溫度的大讨論；在第七、八、九課重溫經典物理學的兩朵烏雲。

第十、十一課重點回顧黑體輻射曲線及其應用；第十二、十三、十四課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推導出著名的公式“E=mc²”，并論證鐘慢尺縮效應；第十五課講解了原子的結構和原子核的衰變；第十六課開始進入量子力學，讨論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不确定性原理，以及薛定谔方程等。

從二十多期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟——通過觀察日常生活現象、用網友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導的方式解釋其背後的物理原理，“透過現象看本質”，進而反過來解決生活中的類似問題。

張朝陽認為研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理課的受衆能保有好奇心，“在好奇心驅使下，了解自然界的奧秘，了解我們在這個世界生存的道理”。在後續課程中，他還将繼續以這種直播風格解釋生活中常見的物理現象，讓普通人能夠聽懂、專業人士也能認可，激發科學學習的熱潮。該課程于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播。同時，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整視頻回放。

除《張朝陽的物理課》外，搜狐視頻也邀請各專業領域頭部播主入駐，直播科普知識，傳遞價值。北京交通大學理學院教師陳征博士玩起了“奇趣的科學實驗”，走進“光的波粒二象性”；康奈爾大學物理化學博士包坤，化身“包大人玩科學”，教普通人看懂2021年諾貝爾獎；還有天體物理博士劉博洋科普“日全食是怎麼産生的”等，近期走紅的理論物理博士後周思益，也來搜狐視頻開通“弦論世界”直播課。未來，還将有更多知識播主入駐，一起互動玩轉科學。

審讀：喻方華

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