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是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣

圖文更新时间:2025-04-26 23:01:56

高等數學我們都知道，也都學過，那麼作為高等數學裡的線性代數，想必就不陌生了，打的交道太多了，想不熟都不行啊。提到線性代數，就不得不說說矩陣了，一個與線性代數密切相關的東西，那麼n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多呢？

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣（n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多）1

關于這個問題如果我們從幾個角度來看，就從集合的勢的角度來說的話，那就是一樣多的；從拓撲的角度來說，可逆矩陣全體是n^2維線性空間中的稠密開集，不可逆矩陣全體則是無處稠密的閉集，所以前者“更大”。從測度論的角度來說，不可逆矩陣全體是n^2維Lebesgue測度下的零測集，所以也更小。

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣（n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多）2

不可逆矩陣又叫奇異矩陣，不嚴格的說，奇異二字本身就暗示着此類矩陣很特殊，那就是說相對少呗，這種問題一般都這樣不嚴格的考慮：假設一個n階矩陣A的除了A11之外的所有元素都固定。那麼考慮A11從負無窮連續變化到正無窮的過程中，A的行列式也會相應變化，注意行列式是個關于A11的1次多項式，有一個根，也就是說A11從負無窮到正無窮這個極限多個取值中，隻有一個取值能夠讓A是奇異陣，剩下無窮多個取值都會導緻A非奇異。所以非奇異陣相對來說要多于奇異陣。

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣（n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多）3

但是一定要分兩個大小，那就真的不好說了，那估計就是分類讨論了，其中要考慮的多着呢，比如還得考慮無限域上矩陣情況，還有就是有限域上的矩陣，更通俗的來說可逆矩陣的行列式不為0，不可逆矩陣的行列式為0，（直觀上講，應該是可逆矩陣多）。

是不是隻有n階矩陣才有可逆矩陣（n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多）4

線性代數的矩陣都這麼好玩神奇，所以，數學的魅力也就不言而喻了。數學的神奇就是這樣，往往不經意間就能引發很多。不得不感歎數學的力量啊。

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