本文作者劉瑞祥，[遇見數學] 感謝劉老師投稿支持！

先和大家聊聊一，然後再聊聊二。

一、了不起的一

一是自然數的單位。經常有人問，零是不是自然數？答案是，你可以認為它是，也可以認為它不是。因為所謂“自然數”，按現代數學的觀點，就是符合“皮亞諾公理”的數，這套公理說，要有一個自然數，每個自然數要有一個後繼，不同的自然數的後繼不一樣……你可以把最開始的那個自然數定為 1 或者 0，這對後面的研究沒有什麼影響。如果怕産生歧義，那麼你可以說明一下——“本書所講自然數，包括（或者不包括）零”。

《數學原理》卷I,第1版,379頁關于 1 1=2 定義

不要以為 1 很簡單，羅素和懷特海的巨著《數學原理》裡直到第 363 頁才有了一個定義，而 1 1——就是小學算術裡的 1 1，不是哥德巴赫猜想——則到了第 379 頁才有了答案。我沒有查到過這本巨著的中文版，是根據盧昌海的個人網站說的。即使在我們普通人能理解的範圍裡，1 的内容也很豐富，比如 1 是乘法的單位元，翻譯一下就是任何數和 1 相乘結果不變。再比如，前面說的“後繼”，就是指每個自然數後面有唯一的一個數，用“人話”來說就是每個自然數加上 1 就得到下一個自然數。

在解析幾何裡，一次方程是最簡單的直線或者平面，也叫做線性方程。行列式、矩陣這些東西都和一次方程有着密切的聯系，而微積分的基本思路就是以直代曲。

萬丈高樓平地起，再偉大的事業也要從一開始，萬裡長征是一步步走出來的，不能一口吃成胖子。隻是有人經常忘記這個道理，恨不得能一步登天。

二、和一密不可分的二

老師們愛說“有一就有二——你這次忘寫作業，下次就還會忘”。事實上很多人也是第一次做了錯事後又做了第二次，于是陷入泥潭不能自拔。

哲學上到底是應該“一分為二”還是“合二為一”是個問題。《易經》上說“無極生太極，太極生兩儀”，于是有了萬物。

兩點确定一直線，這是最簡單的幾何公理。所謂公理，現代數學裡指的是一種約定，或者說是對基本概念的定義。這條公理是說，如果有兩個“東西 A”能決定另外一種“東西 B”，那不妨就把東西 A 看作是點，把東西 B 看作是直線。比如你可以把球隊看作點，把比賽看作直線——你在計算 10 支球隊能打多少場不同比賽的時候，是不是和計算 10 個點能形成多少直線的方法一樣？至于點和球隊的不同，從這條公理上是看不出來的。

牛頓力學裡說到力必須有兩個物體——受力物體和施力物體，而“慣性力”因為是假想出來的所以沒有施力物體，愛因斯坦說引力和慣性力其實是一回事，于是誕生了廣義相對論。

太陽系裡隻有一個中心，但從地球上看月球和太陽差不多大小，于是陰陽和諧。地球上既能看到日全食，又能看到日偏食和日環食，讓人類足不出地球就能窺見不少秘密。

▲ 電偶極子場強和電勢示意圖

單獨一個點電荷産生的電場，場強和距離的平方成反比，電勢和距離的一次方成反比，二者都是對電場的完整描述。單獨的氫原子、氧原子不能穩定存在，必須達到兩個才行。電偶極子——兩個相距很近具有等量異号電荷的點電荷——對外産生的場強和距離的三次方成反比，為什麼會比單獨一個點電荷衰減得快？因為總電量為 0 嘛。推而廣之，電四極子、電八極子産生的電場衰減更快，所以我們平常的物體隻要總電量為 0，就對外界幾乎不産生靜電力，因為宏觀物體都已經不知是電多少極子了。這保證了我們宇宙的正常運行。

三、數學上的二

二在數學上的意義一言難盡。衆所周知，曲線的一階導數對應着切線斜率，二階導數對應着凹凸性。二次方程、二次函數是初中數學的重點和難點，也是走向更高深數學的起點，比如二階線性微分方程就和二次方程有着密切的聯系。而圓錐曲線，也就是二次曲線，是行星天文學的基礎。但早在古希臘時期，就有學者仔細研究了圓錐曲線，并将其系統化。阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》誕生的時候還沒有坐标系和完備的數學符号，完全用純文字的方式清晰地叙述各個命題，單憑這一點就讓人佩服。據說古希臘語特别嚴謹，單是定冠詞就有 20 多個，這是不是古希臘産生複雜數學、哲學體系的原因呢？這本書的成就一直到笛卡爾時代才被超過。數學上關于二的最高成就也許是高斯創造的，他在經典著作《算術探索》裡仔細研究了二次同餘方程和二次不定方程。

看不懂這兩本書沒關系，經典本來就不容易讀懂，我介紹一個大家看得懂的問題。我們可以方便得把線段、角和圓弧二等分，而這些作圖方法用不着平行公理，也就是說在任意空間裡都能進行。而且既然能二等分，那自然也可以四等分、八等分乃至十六等分等等。而我們知道 1/2 1/4 1/8 1/16…的極限是 1，或者說，我們先對一個量取它的一半或更多，然後再取剩餘的一半或更多，這個過程一直進行下去，最後剩餘的就會少于任意事先給定的量。《幾何原本》裡用這個方法證明了圓的面積和半徑平方成正比、棱錐體積是等高棱柱體積的三分之一，球的體積和半徑的三次方成正比，這就是所謂的窮竭法，證明過程極其美妙。

四、計算機和二

先說個具體問題。計算機繪制曲線的基本工具是“貝塞爾曲線”，其中最簡單的是二次貝塞爾曲線：給你三個點，其中兩個是曲線端點，另外一個是兩個端點處切線的交點，就可以用二次參數方程描述這個曲線了，計算起來非常簡單，但是畫出來的效果往往不夠好，于是有了三次或者更高次的貝塞爾曲線。

二次、三次貝塞爾曲線的結構(圖自維基)

計算機和二更緊密的聯系是計算機采取二進制，“逢二進一”，大大簡化了電路設計，由此導緻各種存儲器的容量都用 2 的若幹次幂為單位。我記得大學時學彙編語言的時候，一單片機采集 256 個數據然後計算平均值，隻需要把這些數都加起來然後舍棄最低的字節（相當于除以 256 并舍棄餘數）就可以了。同時我們要注意到，計算機不但是計算工具，更是邏輯機器。而經典的邏輯是二值邏輯，是和非不容模糊，所謂排中律、矛盾律都與此相關。

有人說二進制是多麼偉大的發明，其實如果不是誤打誤撞地遇到了計算機，根本沒有什麼用。也有人說，中國古代的陰陽或者八卦就是二進制，那是誤解，頂多可能對萊布尼茲他們産生一點啟發，因為陰陽也好，八卦也好，都不是形式系統，你總不能說“乾卦”就是數字 7 吧。這麼說不是瞧不起中國古人，我們古代有不少比這确切、輝煌的成就，而且如果真的啟發過萊布尼茲，那也就不簡單了——《肘後方》不就啟發了屠呦呦嗎？

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