因子分析在成績綜合評價中的應用

成績可以是多方面的，包括在校大學生的考試成績、高考生的入學成績、公務員考試的筆試（面試）成績、公司員工或政府官員的測評考核成績等，本節以學生的考試成績為例，利用因子分析進行對考核對象的綜合評價。

學生成績能反映學生掌握知識和各種能力的程度，綜合得分是評價一個學生學習好壞、評定獎學金和評先評優等工作中最重要的一個指标，也是擇優推薦就業很主要的參考因素。因此，合理的、公平的、科學的對學生成績做出綜合評價顯得格外重要。

因子分析是多元統計的重要分析方法之一，其基本思想是根據相關性大小對變量進行分組，使得同組内的變量之間相關性較高，不同組的變量之間相關性較低，每組變量代表了一個基本結構，因子分析中将之稱為公共因子。因子分析在教育學、社會經濟學、心理學等領域都有廣泛的應用價值。

依次單擊菜單“分析—降維—因子”執行因子分析過程，選取變量。

點擊“描述”按鈕，依次選系數、顯著性水平、KMO 和巴特利特球形度檢驗，點擊繼續，返回主菜單。

單擊“提取”按鈕，勾選“碎石圖”，其他選項默認，選擇主成份法進行因子提取。單擊“繼續”按鈕返回主面闆。

單擊旋轉按鈕，單擊選中最大方差法單選框，表示采用方差最大旋轉法進行因子旋轉。單擊繼續按鈕返回主面闆。

單擊得分按鈕，勾選底部的顯示因子得分系數矩陣複選框。單擊繼續按鈕返回主面闆。

設置完畢後，點擊确定，生成結果。

KMO檢驗和Bartlett球形檢驗。如圖22-11所示，KMO檢驗研究變量間的偏相關性，計算偏相關時控制了其他因素的影響，所以比簡單相關系數要小，一般KMO統計量大于0.9時效果最佳，0.7以上可以接受，0.5以下不宜作因子分析，本例KMO取值0.857進一步印證了作因子分析的必要性。

Bartlett球形檢驗統計量的Sig值小于0.01，由此否定相關矩陣為單位陣的零假設，即認為各變量之間存在顯著的相關性，這與從相關矩陣得出的結論緻。

公因子提取的方差。給出了公因子對初始變量方差的提取情況，也就是常說的變量共同度。其中的“提取”欄就是變量共同度的取值，代表了所有公因子能夠解釋的每個變量方差的比例，本例的方差提取多數都在70%左右，可見公因子對變量方差的解釋效果可以接受。

方差解釋表。方差解釋表給出了每個因子所解釋的總方差比例，以及所解釋方差的累計和。觀察初始特征值的“累積%”一列，前8各公因子的特征值都大于1，且解釋的累計方差達到了68.558%，也就是說總體近70%的信息可以由這8個公共因子來解釋，本例就取這前8個公因子進行分析。

最後一欄“旋轉平方和載入”表示經過因子旋轉後得到的新公因子的方差貢獻值、方差貢獻率和累計方差貢獻率，可以看到和未經旋轉相比，每個因子的方差貢獻值有變化，但累計方差貢獻率不變。

方差解釋表，是關于初始特征值（也就是方差貢獻）的碎石圖，從圖中看第1個公因子的方差解釋貢獻最大，随後因子的方差貢獻趨緩。

旋轉前後的因子載荷矩陣，給出了旋轉前後的因子載荷矩陣，其中“成分矩陣”表是初始的未經旋轉的載荷矩陣，“旋轉成分矩陣”是經過旋轉後的載荷矩陣。一般情況下，經過因子旋轉後變量在因子上的載荷分布更加分散，因而比未旋轉時容易解釋。

因子得分的系數矩陣。輸出的是因子得分系數矩陣。對于每個因子，把系數和對應的課程名稱相乘後再求和，可以得到最終的因子得分公式，利用它就能夠對所有案例進行因子評分了。

例如，因子1的得分公式為：FAC1_1=-0.152*無機一0.065*哲學 0.232*思品一0.054*高數I ... 0.121*微生物 0.069*天然藥化-0.040*專業英語-0.154*藥理學。

如果要關心的是學生的綜合能力，可對8個公因子的得分進行加權求和，權數就取其方差貢獻值或方差貢獻率，參看圖22-13中“旋轉平方和載入”一欄裡的“合計”（方差值）、“方差的%”（方差貢獻率）。本例采用方差貢獻率作為加權變量，8個旋轉後公因子的方差貢獻率依次為：13.3%、12.18%、9.71%、9.3%、8.78%、6.74%、4.77%、3.79%。

由此可得學生的綜合得分計算公式如下：

ZF=13.30%*FAC1_1 12.18%*FAC2_1 9.71%*FAC3_1 9.30%*FAC4_1 8.78%*FAC5_1 6.74%*FA C6_1 4.77%*FAC7_1 3.79%*FAC8_1，其中FACn_1表示第n個因子的得分。

通過前面的分析，利用因子得分系數和方差貢獻率已經得到了能夠進行綜合評分的公式，由此可以對學生成績進行更為科學的判斷和排序。

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