平面幾何中的“最值”是屬于較有難度的幾何問題，其複雜多變、形式多樣、經典巧妙。有類最值問題中往往帶有特殊角，這時，我們可以作特殊角所在三角形的外接圓，有可能迎刃而解。今舉三例來說說，供參考：

【例一】（如圖）扇形ABC中，∠B=60º，内接△DEF，點D、F分别在半徑上，半徑為2，點E在弧上，且：DF=EF，∠DFE=120º，求：△DEF面積的最小值

【解析】（作△BDF的外接圓）

（1）由已知可得：∠FDE=∠FED=30º，設：FD=FE=a，則：DE=√3a，連BE，BE=2

（2）作△BDF的外接圓⊙O，則∠DOF=120º，∠ODF=∠OFD=30º，半徑OD=OB=OF=√3a/3

（3）△ODE中，由餘弦定理得：OE=√21a/3，由：OB＋OE≥BE得：a≥（√21－√3）/3，故：a的最小值為：（√21－√3）/3

（4）由S△DEF=DF²sin120º/2得：△DEF面積的最小值為：（4√3－√21）/6

【例二】（如圖）在Rt△ABC中，∠BAC=90º，∠ABC=30º，D是△ABC外一點，∠ADC=60º，BD=2√3，求：線段BC的最小值

【解析】（作△ACD的外接圓）

（1）由已知可得：∠ACB=60º，BC=2AC

（2）作△ACD的外接圓⊙O，設半經OA為a，即OA=OC=OD=a，由∠D=60º，∴∠AOC=120º，∠OCA=∠OAC=30º，∴∠BCO=90º，AC=√3a，BC=2√3a

（3）在Rt△OBC中，由勾股定理得OB=√13a

（4）由OB＋OD≥BD得：a≥2√3/（√13＋1）

（5）故：a的最小值為：（√39－√3）/6

（6）由BC=2√3a得，BC最小值為：√13－1

【例三】（如圖）等邊三角形△ABC邊長為6，點D、E、F分别在AB、AC、BC邊上，且有：DE⊥EF，求：DF的最小值

【解析】（作△BDF的外接圓）

（1）Rt△DEF中設DF=2a，則DF上中線長為a，

（2）作△BDF的外接圓⊙O，由∠DBF=60º得，∠DOF=120º，半徑OB=OD=OF=2√3a/3

（3）取DF的中點G，連OG，則OG=√3a/3，連EG，則EG=DF/2=a

（4）過點B作AC邊上的高BH，則BH=3√3

（5）則：OB＋OG＋GE≥BH，代入整理可得：（√3＋1）a≥3√3，2a≥（9－3√3）

（6）所以：DF的最小值為：（9－3√3）

以上三例之分析，“道聽度說”供參考。

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