1644年瑞士數學家皮耶特羅·門戈利提出了一個問題，所有自然數倒數的平方和是多少？

瑞士巴塞爾的旖旎風光

看起來好像不算是一個特别困難的問題，但是很久以來，都沒有人能夠給出答案來。這個問題難倒了很多著名數學家，比如兩位微積分的創始人，牛頓和萊布尼茨。萊布尼茨發現了第一個計算π的無窮級數形式。

萊布尼茨求π

這是一個前所未見的求圓周率的表達式，于是萊布尼茨就自诩，給出任何無窮級數來，他都可以求出來和。我們就假定在當時他的确有說這番狂言的實力，但是他的确在巴塞爾問題上翻了船，直到死也沒看到這個問題的最終答案。長久以來，這都是數學界一個懸而未決的問題，100多年之後的歐拉大神出手，巴塞爾問題因此得名，巴塞爾是歐拉和伯努利家族的故鄉。

下面看看歐拉對于巴塞爾級數問題的求解過程。

歐拉求解巴塞爾問題的過程

這裡歐拉通過構造了一個特殊函數，并最終由這個函數的泰勒展開式得到了正确的結論。

這個級數的收斂性很好證明，歐拉的神來之筆在(2),(3)之間的轉換，由于這個函數f(x)容易看出來全部的零點，歐拉創造性地把用在有限多項式的因式乘積形式用在了無限項多項式中。為什麼歐拉要将(3)式寫成這樣的連乘形式，而不是别的形式？這是因為f(x)的泰勒展開式右邊有一個常數1，所以等式左邊展開後也應該出現有個1與之對應。

其實(2),(3)之間的跳轉很有風險，很多時候對于有限項顯而易見的處理方法放在無窮多項裡卻完全是錯誤的。歐拉當然知道這麼做的冒險，但是歐拉是一位舉世無雙的計算大師，他計算出巴塞爾級數的數值大約在1.645左右，跟他得到的結果π²/6完全一樣，更加堅信得到的結果是正确無誤的。事實上，巴塞爾級數收斂的速度極慢，大約要計算到第10000項才能精确到小數點後三位！

歐拉大神

1735年，歐拉大膽地把這個結論發表出來，轟動了整個數學界，年僅28歲的歐拉解決了，萊布尼茨，牛頓也不曾解決的難題，從此名揚天下。6年之後的1741年，歐拉終于把這個瑕疵也補上了，此時巴塞爾問題才算真正被完全解決。

如果展開(3)式左邊，我們發現左右兩邊隻有x的偶數次項，而不會出現任何x的奇數次項。假如，我們有辦法把(3)式左邊關于x的所有系數都計算出來，理論上我們就可以得到自然數倒數的任意偶數次方和。其實，早就有人做過這樣的工作，不知道是不是也是歐拉完成的。

自然數倒數的偶數次方和公式

這裡的B叫伯努利數，顧名思義是數學家伯努利發現的一串數列。這個數列在很多領域都有重要的應用，本身也有很多奇妙的性質，有機會專門來說說。還記得拉馬努金在印度本土發表的第一篇論文的名字嗎？就叫《論伯努利數的一些性質》。

拉馬努金第一篇論文就是關于伯努利數

既然能求出來所有自然數倒數的偶數次方和，那麼奇數次方和呢？看起來好像也并不是那麼“困難”。前面分析過，歐拉的方法是無法求出奇數次方和的，很多人都鑽研過這個問題，然而無一例外，沒有人得出過解析值。無論用什麼方法去計算，最後要麼落入一個求不出原函數的定積分形式，要不就是得到一個算不出和的無窮級數。總之，這個值收斂存在，但是永遠求不出解析值。有人會疑問了，既然确定範圍和收斂區間，為什麼會求不出準确值呢？

事實上，這種情況很常見，我們能夠求出準确值的無窮級數其實是非常非常有限的，絕大多數無窮級數到最後怎麼算都還是無窮級數。很多看似簡單明了的問題，到最後也不會是我們預想的結果。比如橢圓的周長，你就沒法提出一個确切的計算公式，最好的結果也就是一大堆數值和橢圓參數組成的無窮級數而已。有興趣的同學可以自己嘗試一下，所有自然數倒數的立方和最簡潔的結果是什麼。

有意思的是，任意兩個自然數互質的概率是6/π²，剛好是巴塞爾級數和的倒數。

歐拉對于巴塞爾級數的研究，也給了黎曼極大的啟發。黎曼将k從整數域擴展到複數域s，并經過解析延拓和一系列變換，最終誕生了數學史上最重要的函數之一的黎曼ζ函數。

數學界最重要的函數之一——黎曼ζ函數

巴塞爾問題的解決正式宣告了18世紀的數學界迎來了最中心的人物，這也是歐拉幾十年巅峰數學生涯的開端。

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