利用導數證明不等式
函數如果連續可導，利用導數為零的點及函數的單調性，就可以證明某些不等式。
首先複習一下預備知識。
如果f(x)在c處有一個局部極值并且f(x)在c處是可導的，那麼f ' (c) = 0, 反之亦然。
若f(c) 是極大值，則有f(x)<f(c); 若 f(c) 是極小值，則有f(x)>f(c)。
示例1：若x>0, 證明ln(x)≦x-1 .
證： 令f(x)=ln(x)-(x-1)
則f’(x)=1/x-1, 當f’(x)=0， 則x=1,
當0<x<1時， f’(x)>0,
當x>1時， f’(x)<0,
因此x=1, 函數 f(x)有最大值f(1)=0,
所以f(x) =ln(x)-(x-1) ≦0, 就是ln(x)≦x-1， 證畢。
示例2：若x>0, 證明1 2lnx≦x2
證：令f(x)=-( 1 2lnx)
則f’(x)= 2x-2/x-=2(-1)/x , 當f’(x)=0, x=1 (x=-1舍去)
當0<x<1時， f’(x)<0,
當x>1時， f’(x)>0,
因此x=1, 函數 f(x)=-( 1 2lnx)有最小值f(1)=0,
所以f(x) = -( 1 2lnx)≥0, 就是 ( 1 2lnx) ≦ ，證畢。
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