一、空間幾何體的表面積

問題1：有一隻螞蟻從圓柱的下底面圓周上一點A出發，沿着圓柱側面爬行一周，到達上底面圓周上一點B（線段AB是圓柱的一條母線），問螞蟻爬行的最短路線是多長？

平面展開圖：沿着多面體的某些棱将它們展開成平面圖形，這個平面圖形叫做該幾何體的平面展開圖。

（一）棱柱、棱錐、棱台的側面積

1、直棱柱：側棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其側面展開圖是一個矩形。

正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。

◆S直棱柱側＝ch其中c為棱柱的底面周長，h直棱柱的高。

2、正棱錐

定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的正投影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

性質：

（1）正棱錐的側棱長相等。

（2）側棱和底面所成的角相等。

棱錐的側面展開圖是由各個側面組成的。

◆S正棱錐側＝1/2ch´（其中c為棱錐底面周長，h’為側面等腰三角形底邊上的高——斜高）

3、正棱台

定義：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面之間的部分叫做正棱台。

側面展開圖是由各個側面組成的。

S正棱台側＝　1/2（c ＋ c’）h’

（其中c，c’為棱台上下底面的周長，h’為各個等腰梯形的高，即棱台的斜高）。

（二）、圓柱、圓錐、圓台的側面積

把圓柱、圓錐、圓台的側面沿着它們的一條母線剪開後展在平面上，展開圖的面積就是它們的側面積。

1、圓柱的側面積

◆如果圓柱底面半徑是r，周長是c，側面母線長是l，那麼它的側面積是

2、圓錐的側面積

◆如果圓錐底面半徑是r，周長是c，側面母線長是l，那麼它的側面積是

3、圓台的側面積

◆如果圓台的上、下面半徑是r'、r,周長分别是c'、c,側面母線長是 l,

，那麼它的側面積是

二、柱錐台的體積公式

長方體的體積公式是什麼？如：某長方體的長寬高分别是7cm,5cm，4cm，其體積為多少，即為多少個正方體？

1、祖暅原理

兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等。

2、柱體的體積公式

3、錐體的體積公式

4、台體的體積計算公式

◆柱體，錐體，台體之間的關系：

5、球體的體積公式與表面積公式

（1）利用祖暅原理可得

（2）利用極限的思想推導出球的表面積公式：S球面＝4πR2

典型例題

例1. 有一根長為5 cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少厘米？（精确到0.1 cm）

解：由題意知：BC＝5 cm，AB＝8

，點A與點C就是鐵絲的起止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度。AC＝

例2. 如圖是一個獎杯的三視圖，（單位：cm）試計算這個獎杯的體積（精确到0.01cm3）。

解：V正四棱台＝

V長方體＝6

＝864

V球 ＝

V＝ V正四棱台 ＋ V長方體＋ V球

例3. 一個圓柱形的鍋爐，底面直徑d＝1m，高h＝2.3m。求鍋爐的表面積（保留2個有效數字）。

解：底面半徑r＝1/2 S側面積＝ cl＝2πrl=πl=2.3π

S表面積 ＝ S側面積＋ S底面積＝2.3π 1/2π≈8.7

例4. 一個正三棱台的上下底面邊長分别為3cm和6cm，高是

cm，求三棱台的側面積。

解：如圖

。連接AO并延長交BC于D，連結

，并延長交

，過

作

E

AD于E

DE＝DO－

＝

，

＝

S正三棱台

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