今天重點内容之一是《整式乘法與因式分解》一章，由于這兩塊内容是互逆過程，很多同學初學時就非常容易混淆，2022中考的沖鋒号已經吹響，深怕學生會有一定的遺忘，因此，這個專題，我們專門做一個整理和歸納．

一、因式分解的概念和幾種方法

因式分解，顧名思義，是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，它是整式乘法的逆過程，最後的結果，一般都寫成( ) · ( )的形式．

常見的因式分解分解方法有提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分組分解法等，這一講主要介紹前三種方法及綜合運用．

二、因式分解的步驟

較為複雜的因式分解必須做到三步，提，公，徹．第一步，有公因式，先提公因式，注意一次提清，尤其是系數，不能遺漏．第二步，運用公式，無非是平方差公式和完全平方公式．第三步，分解徹底，比如有的時候還有公因式可提．

三、因式分解的常見類型及口訣

1、提公因式法

(1) －2m3＋8m2－12m

＝ －2m(m2－4m＋6)

口訣：提負要變号

當多項式第一項的系數是負數時，通常把“－”作為公因式的符号寫在括号外，使括号内第一項的系數化為正數，在提出負号時，多項式的各項都要變号！

(2) 3x2－6xy＋x

＝ x(3x－2y＋1)

口訣：因同要加1

如果提取的公因式與多項式中的某一項相同，那麼提取後的多項式中，這一項剩下的”1”不能漏寫!

(3) a(a＋b)(a－3b)－a(a＋b)2

＝ a(a＋b)[(a－3b)－(a＋b)]

＝ a(a＋b)(－4b)

＝ －4ab(a＋b)

口訣：單在多之前

當分解完之後，如果是幾個單項式與多項式的積的形式，則将單項式相乘，寫在多項式的前面．

(4) 5m(m－5)－(5－m)(m－3)

＝5m(m－5)＋(m－5)(m－3)

＝(m－5)(5m＋m－3)

＝(m－5)(6m－3)

＝3(m－5)(2m－1)

口訣：分解要徹底

當分解為多項式與多項式的積時，也要觀察多項式中是否還有公因式可提，或者能否用公式，再一次分解．

對于多項式的底數互為相反數的，我們适當換底也能用提公因式法，如：

其實這是運用了之前互為相反數的奇次幂互為相反數，互為相反數的偶次幂相等的結論，這裡，奇次幂互為相反數互為相反數，說明換底之後，前面的符号有變化，我們可以再總結一個口訣，符号看指數，奇變偶不變，即指數為奇數，換底為原來的相反數時，式子前面的符号要變号．當然，這個口訣在高中學習三角函數誘導公式時，還會有不同的涵義！

2.平方差公式法

a2－b2＝ (a＋b)(a－b)

公式的特點：

（1）兩項，且均為平方項

（2）平方項前異号

例1： 9(a＋b)2－4(a－b)2

錯解：＝ 9(a＋b)2－4(a＋b)2＝5(a＋b)2

分析：産生這種錯誤的原因，還是在于相反數的概念不清，a＋b的相反數并非a－b，而是－a－b，顧本題不可采用提公因式法，應采用平方差公式法，其中，3(a＋b)看作公式中的a，2(a－b)看作公式中的b．

解答：

＝ [3(a＋b)]2–[2(a－b)]2

＝ [3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)]

＝ (5a＋b)(a＋5b)

例2： 4x2－64

錯解：＝ (2x＋8)(2x－8)

分析：産生這種錯誤的原因，在于沒有注意因式分解第一步，有公因式要先提，這裡有公因式4．

解答：

＝ 4(x2–16)

＝ 4(x＋4)(x－4)

例3： a4－16

錯解：＝ (a2＋4)(a2－4)

分析：産生這種錯誤的原因，在于沒有注意到因式分解要徹底，這裡的a2－4項，符合平方差公式特點，還能繼續分解．

解答：

＝ (a2＋4)(a2－4)

＝ (a2＋4)(a＋2)(a－2)

3.完全平方公式法

a2±2ab＋b2 ＝ (a±b)2

公式的特點：

（1）三項 （2）平方項前同号（3）滿足：首2±2×首×尾＋尾2

例4： (m＋n)2－6(m＋n)＋9

錯解：＝ (m＋n) (m＋n－6)＋9

分析：産生這種錯誤的原因，在于對提公因式法的理解有誤，前提是必須要每一項都有公因式，而9顯然沒有，因此，我們要考慮用完全平方公式，這裡把(m＋n)看作a，3看作b．

解答：

＝ (m＋n) 2－2(m＋n) · 3＋32

＝ (m＋n－3) 2

例5： 16a4－8a2＋1

錯解：＝(4a2－1)2

分析：同例3的錯誤相同，4a2－1符合平方差形式，還可以繼續分解．

解答：＝ (4a2－1)2

＝ [(2a＋1)(2a －1)]2

＝ (2a＋1)2(2a －1)2

例6： (a2＋3a)2－(3a＋9)2

錯解：

＝ [(a2＋3a)＋(3a＋9)] [(a2＋3a)－(3a＋9)]

＝ (a2＋6a＋9)(a2－9)

分析：又沒有做到分解徹底．

解答：

＝ [(a2＋3a)＋(3a＋9)] [(a2＋3a)－(3a＋9)]

＝ (a2＋6a＋9)(a2－9)

＝ (a＋3)2(a＋3)(a－3)

＝ (a＋3)3(a－3)

四、相關拓展習題

例7：将多項式4x2＋1加上一個整式，使它成為完全平方式，你有幾種方法？

分析：要使多項式變為完全平方式，則必須為首2±2×首×尾＋尾2形式，那麼，要添加的整式就可以放在首2，2×首×尾，尾2三個位置上，但是，要注意，添加的代數式是否為整式．

例8：若a－3b＝1，求a2－9b2－6b的值

分析：本題若是填空選擇題，我們大可以用特殊值代入，但作為解答題，看到a2－9b2，應該想到可以借助因式分解來完成．

解答：a2－9b2－6b

＝(a＋3b)(a－3b)－6b

＝(a＋3b) · 1－6b

＝a－3b

＝1

例9：求多項式5x2－4xy＋4y2＋8x＋25的最小值．

分析：這是兩次配方法和0＋0型的綜合運用，要把五項變為2個完全平方式，即共6項，那麼必然有一項要拆作2項，有4xy，4y2，則必然需要有x2，即拆5x2．

解答：5x2－4xy＋4y2＋8x＋25

＝ x2－4xy＋4y2＋4x2＋8x＋25

＝ (x－2y)2＋4(x2＋2x＋1－1)＋25

＝ (x－2y)2＋4(x＋1)2＋21

當x＝－1，y＝－0.5時，有最小值為21

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