橢圓形平面圖形的建築物具有平面布局較為緊湊、并且富有動态感等優點，多用于公共建築，尤其在體育性建築中使用較多。比如，在橢圓形的體育館中，觀衆席能獲得良好的視覺質量，各個方位的席位都具有良好的清晰度。

橢圓形平面曲線的數學方程式

根據數學定義可知：平面内到兩定點F1、F2的距離之和等于常數的點的軌迹叫做橢圓。兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距， 焦距等于2C， 即F1F2=2C(c>0)。

如圖所示，設點M(x、y)是橢圓上任意一點，則MF1與MF2，兩段距離之和為一定值設為2a，即MF1 MF2=2a(a>0)

在三角形MF1F2中，MF1 MF2>F1F2，(三角形兩邊之和大于第三邊)，即2a>2c，a>c，取過焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1，F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐标系，設橢圓上任一點M點的坐标為(x，y)，MF1與MF2的距離，根據勾股定理，用坐标值來表示：

（MF1）^2=(x c)^2 y^2,（MF2）^2=(x-c)^2 y^2，

根據橢圓定義: MF1 MF2=2a

因為a>c，可設b^2=a^2-c^2

則上述方程式為: x^2/a^2 y^2/b^2=1,就可得到橢圓的标準方程式：

這個方程式所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點坐标為F1(-C，0)、F(c，0)，這裡c²=a²-b²。橢圓對稱于x軸，在x軸方向稱為長軸，其值為2a，在y軸方向稱為短軸，其值為2b，與x、y軸的交點A1、A2、B1，B2稱為橢圓的四個頂點。

如果橢圓的焦點在y軸上，如圖2-7所示，隻要将上面方程式中的x、y互換後就可得到它的标準方程式：

y^2/a^2 x^2/b^2=1

在橢圓方程式中，當a、b值一定時，隻要知道變量x和其中一個數值，便可求得橢圓曲線上的任何一個數值，即

y=±b/a* a²-x²

或x=±a/b*(b²-x²）½

橢圓形平面曲線的作圖方法

橢圓形平面曲線的作圖方法，常用的有以下幾種。

一、同心圓法

當已知橢圓的長軸(2a)和短軸(2b)的尺寸後，可用同心圓法求作其橢圓曲線。

作圖步驟：

1.作橢圓的長軸AB和短軸CD，如圖

2.如圖所示：

(1)分别以AB和CD為直徑作大小兩同心圓。

(2)等分兩同心圓為若幹份，例如十二等分。

3.如圖所示：

(1)從大圓各等分點作豎向直線，與過小圓各對應等分點作的水平線相交，得橢圓曲線的各點。

(2)将其各點順滑連接起來，即為所求作的橢圓曲線。

同心圓作橢圓

二、四心圓法

當已知橢圓的長軸(2a)和短軸(2b)的尺寸後，可用四心圓法求作其近似的橢圓曲線。作圖步驟：

1.作橢圓的長軸AB和短軸CD

2.如圖所示：

(1)連接AC。

(2)以0為圓心，OA為半徑作圓弧，交CD延長線于E點。

(3)以C為圓心，CE為半徑作圓弧，交AC于F點。

(4)作AF的垂直平分線，交長軸于O1，交短軸〈或其延長線)于O2。

(5)在OB軸上截取OO₃=OO₁，在OC軸上截取OO4= OO2

3.如圖：

(1)分别以O₁、O2、O₃、O4為圓心，以O₁ A、O2C、O₃B、O4D為半徑作圓弧。

(2)使各弧段在O2O₁， O2 O₃和O4 O₁， O4 O₃的延長線上的G、I、H、J四點處相交，則所得的封閉曲線即為所要求作的近似的橢圓曲線。

四心圓作橢圓

橢圓形平面曲線的施工放線

橢圓形平面曲線的現場施工放線，其方法也是很多的，常用的方法有直接拉線法(即連續運動法)，幾何作圖法和坐标計算法等，現将有關放線方法分述如下。

一、直接拉線法

這種放線方法在橢圓形平面尺寸較小時常采用，這種放線方法操作比較簡單，放線速度快，隻要操作認真，可以獲得一定的精确度。

某紀念碑建築的外圍圍牆形狀為一橢圓形，橢圓長軸的設計尺寸α=15m，短軸的設計尺寸b=9m。試用直接拉線法進行現場施工放線。

(一)放線步驟

1.根據總平面設計圖，确定紀念碑平面圖形中心點位置和主軸線(即橢圓的短軸)方向，并正确放出長軸位置。

2.根據已知的長、短軸設計參數a=15m，6=9m，定出橢圓形平面的四個頂點位置，即A(-15，0)、B(15，0)、C(0，9)、D(0，-9)。并計算出橢圓的焦距和确定焦點位置。焦距c=12m

3.在焦點F1和F2處建立較為穩固的木樁或水泥樁。

4.找細鐵絲一根，其長度等于F1c F2c（等于2a），兩端固定于F1，F2上，然後用圓的鐵棍或木棍套住細鐵絲後在長軸兩邊畫曲線，即可得到一條符合設計要求的橢圓形曲線，如圖2-16所示。

(二)用直接拉線法作橢圓形平面曲線的現場施工放線，應注意以下問題:

1.兩焦點上設置的樁，位置應正确，設置應穩固，施工中應妥善保護。

2.所用拉線材料不應有伸縮性，描畫曲線過程中，應始終拉緊，不應有時緊時松的現象。

三、坐标計算法

當橢圓形平面曲線的尺寸較大，或是不能采用直接拉線法進行施工放線時，常采用坐标計算法進行現場施工放線。計算方法和圓弧曲線的坐标計算法相同。通過坐标計算，最後列成表格，供現場放線人員使用，施工操作較簡單，能獲得較好的精度。

某紀念碑建築的外圍圍牆形狀為一橢圓形，橢圓長軸的設計尺寸a=15m，短軸的設計尺寸b=9m。試采用坐标計算法進行橢圓形平面的施工放線。

(一)坐标計算

1.根據已知條件，橢圓長軸的設計尺寸a=15m，短軸設計尺寸b=9m，列出該橢圓的标準方程式x^2/15^2 y^2/9^2=1

2.把方程式變為y=±9/15（15^2-x^2）½

3.将x=0、1、2……15各點代入方程式，求出相應的y值，最後将計算結果列成表格，注：y值均為正負對稱值。

(二)施工放線

1.根據總平面設計，确定紀念碑橢圓形平面的中心點位置和主軸線(短軸)方位。

2.以主軸線為y軸，以中心點為原點，建立直角坐标，x軸即為橢圓形平面的長軸線。

3.在×軸上分别取x=1、2、3......15各點，并通過上述各點作垂直線，根據表2-2所列數值，分别量取各點y值，y0=±9；y1=±8.98；y2=±7.92......y15=0，

4.根據橢圓曲線的對稱原理，可确定左側半邊，即x=0-15範圍的各點y值。

5.将各點比較順滑的連接起來，即可得到一條符合設計要求的橢圓曲線(即圍牆中心線)。

當x軸上取的點數越多，所求作的橢圓曲線也越順滑，越精确。

橢圓形建築

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