本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

讀《古今數學思想》有感

作者 : 高翔

作品編号：060

莫裡斯·克萊因的《古今數學思想》是一套數學思想與數學史的經典名著，克萊因是著名應用數學家、數學史家、數學教育家、數學哲學家和應用物理學家。《古今數學思想》無疑是數學史的鴻篇巨著，共分三冊，洋洋百萬餘言，從數學的混沌初開——古埃及與古巴比倫時代，講到20世紀的前半葉，時間跨度三千多年。如果您對數學思想與數學史感興趣，相信這套《古今數學思想》絕對會給您想要的震撼。

數學概念的創造、數學理論的發展和數學思想的進化，是一種自然而然、逐步深化的過程，在《古今數學思想》中大緻将數學的曆史分為了如下六個階段。

1. 混沌初開——古文明時期的數學起源

（1）尼羅河水患後丈量土地的需要，客觀上促使古埃及人創立了早期的幾何學。

（2）計數與記數系統在古巴比倫的蓬勃發展，催生了早期的代數學。

2. 科學之源——古希臘時代的數學

現代科學與哲學的源頭都可以追溯到兩千多年前的古希臘時代，數學也不例外。

（1）畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的哲學思想，開創了對世界本原抽象化的思考。

（2）歐幾裡得的幾何學集大成之作《幾何原本》不但使得“神聖幾何”的崇高信仰深入人心，還為後世數學與科學的發展奠定了“公理化”的範式。

（3）“數學之神”阿基米德在人類曆史上第一次計算出了球的體積公式，其看家本領“無窮小分析”本質上就是微積分的雛形。

（4）丢番圖的《算術》在幾何學一統天下的古希臘時代為代數學埋下了一顆即将萌發的種子。

3. 緩慢探索——中世紀的數學

（1）東方的印度和阿拉伯繼承了古希臘的數學傳統，在中世紀扛起了數學發展的大旗，尤其值得稱道的是由印度人發明、阿拉伯人傳播的阿拉伯數字風靡了世界。

（2）古代中國天人合一的哲學思想将數學、天文與科學有機融合在一起，而基于問題驅動的算法系統是古希臘公理化系統之外新的數學範式。

4. 英雄時代——文藝複興時期的數學

（1）代數方程理論的發展是數域擴充的不竭動力，從自然數到整數、從有理數到實數、從複數到四元數，人類對數的認識在不斷的颠覆與重建。

（2）笛卡爾與費馬的解析幾何成功實現了“數”“形”結合，至此雙劍合璧、天下無敵。

（3）牛頓與萊布尼茨繼承了阿基米德的思想，發明的微積分使得變量數學登上了舞台，從此數學的發展步入了快車道。

（4）在賭博中誕生了早期的概率論，在确定性的背後中添加了一抹随機的色彩。

5. 群星璀璨——近代的數學

這個時代無疑是數學發展的黃金時代，數學史上那些燦若星辰的偉大名字，大都生活在這個非凡的時代，他們為後世的數學奠定了原創性的思想和觀念。至此純粹數學的三大分支——分析、代數與幾何三足鼎立的格局悄然形成。

（1）分析學

（i）在歐拉、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯、傅裡葉等數學家的努力下，微積分與微分方程的方法滲透到了科學的各個領域，就像一把無所不能的寶劍披荊斬棘、勇往直前。

（ii）雄偉的微積分大廈需要更加堅實的基礎，以實數理論為代表的分析嚴密化在柯西、戴德金、康托、魏爾斯特拉斯的手中成為現實。

（2）代數學

（i）一元n次方程的根式求解問題促使了年輕的數學天才阿貝爾和伽羅瓦建立了近世代數（抽象代數），也啟發了庫默爾将初等數論拓展到了代數數論。

（ii）狄利克雷和黎曼接過了歐拉和高斯的衣缽，将複變函數應用于數論的研究，創立了解析數論。

（iii）線性代數的創立使得微積分有了堅實的夥伴，給出非線性問題線性化之後精确的數學邏輯。

（3）幾何學

（i）對“歐幾裡得第五公設”的研究使得高斯、鮑耶、羅巴切夫斯基和黎曼意識到除了歐氏幾何外還有新的幾何學——非歐幾何學的存在。

（ii）黎曼基于流形概念創立的黎曼幾何與克萊因提出的“埃爾朗根綱領”無疑是近代幾何學的集大成之作。

6. 學科雲集——現代的數學

20世紀的現代數學，其顯著特征就是新的數學分支大量湧現，整個數學體系極其龐大、蔚為壯觀。

（1）1900年“數學的亞曆山大”希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的23個數學問題為20世紀數學的發展指明了方向。

（2）與之齊名的“數學的莎士比亞”龐加萊對自守形式、複變函數論、代數拓撲、微分方程定性理論和數論的研究，引領了20世紀主流數學的發展。

（3）希爾伯特的傳人外爾畢生追求“真”與“美”，緻力于将數學和物理有機融合，所開創的U（1）規範場理論深刻的刻畫了電磁場的對稱性，為楊-米爾斯規範場乃至粒子物理的标準模型打開了大門。

（4）“代數學的女王”諾特将近世代數進一步完善成一套完整的理論體系，其關于對稱性與守恒律之間對應的深刻洞察觸摸到了最底層的自然規律。

（5）如果說抽象代數是代數學的集大成之作的話，那麼巴拿赫開創的泛函分析無疑是分析學的集大成者，作為線性代數的無窮維版本，将變分法、微分方程、積分方程、函數論以及量子力學容納其中。

（6）“計算機之父”馮•諾依曼以泛函分析為基礎建立了量子力學的數學基礎，他還是博弈論和計算機理論的奠基人。

（7）現代代數幾何的開創者格羅滕迪克通過引入概形使代數幾何學還原為交換代數學，還發展了平展上同調、L進上同調與動形理論，他是當之無愧的“代數幾何的上帝”。代數幾何領域作為數學的最高獎——菲爾茲獎的寵兒，有這樣一句名言：“代數幾何王者輩出（菲爾茲獎得主），但上帝隻有一個——亞曆山大•格羅滕迪克。”

由此可見，《古今數學思想》内容全面、邏輯嚴謹，不但對數學的來龍去脈交代得清晰明了，還特别着重于主流數學工作以及第一手資料的旁征博引。全書以著名數學家的貢獻為題材，以對數學本身的看法随時間演變的曆程為線索，使讀者受到數學之大之美的熏陶，實屬難得一見的數學精品。

7. 走向統一——當代的數學

當然《古今數學思想》由于作者克萊因所生活年代所限，對當代數學（即20世紀後半葉至今的數學）并沒有做過多的介紹。那麼當代數學的主要特色是什麼呢？簡而言之四個字——走向統一。衆所周知，物理學的發展、物理思想的進化便是一條由淺入深、逐步深化的“統一之路”，物理學經曆了若幹次重要的統一節點，每次統一都建立起來了蔚為壯觀的物理學大廈。

那數學是遵循何種統一之路呢？根據法國著名的布爾巴基學派的觀點：數學是研究數學結構的學科，所謂的數學對象隻不過是附加了數學結構的集合。基本的數學結構有代數結構、拓撲結構和序結構。布爾巴基學派的結構主義是數學的内功心法，結構就是數學統一的線索。

（1）将各種結構有機結合，研究結構交叉得到的新的數學對象，比如将微分結構和群結構結合得到的李群。

（2）以問題和猜想為導向來構造新的結構，比如對丢番圖方程的研究促進了對橢圓曲線的群結構與對應模形式的研究。

（3）研究不同數學結構之間的關聯和對應關系，比如被譽為“數學大統一理論”的朗蘭茲綱領和菲爾茲獎得主孔涅的非交換幾何。

還有一種統一是數學與物理的統一，正如數學王子高斯所說的：“數學是自然科學的女皇……”事實上在數學和物理學的發展史上，确實有像分析的嚴密化這類純粹靠邏輯推動的研究，但總體來說，合大于分的統一是數學和物理學關系的主旋律，這在20世紀以來尤其如此。

（1）經典力學中的核心——牛頓第二定律，從數學觀點來看就是一個二階常微分方程（組）。

（2）電、磁和光的基礎——麥克斯韋方程組，從數學的觀點去看，就是一階線性偏微分方程組。

（3）愛因斯坦最偉大的貢獻——廣義相對論，在數學中對應黎曼幾何。

（4）現代物理學的另一大支柱——量子力學，在數學中對應泛函分析。

（5）如果去審視現代物理，比如說楊-米爾斯規範場理論，這最終可以導出粒子物理的标準模型，從數學上看就是纖維叢理論。

（6）抽象代數中的群論，是刻畫對稱性最好的工具，在規範場論、凝聚态物理、超弦理論等現代物理學的各個分支中都有重要應用。

（7）包羅萬象的弦理論所對應的，也是整個現代數學。在弦理論學家的啟發下，一些困擾數學家許多年的老大難問題得到了完美的解決。難怪有人形容弦理論學家像來自于未來失意的人，隻記住了數學證明的隻言片語。

如果我們把世界分成現實世界和數學世界，如果說現實世界的規律是物理學的話，數學世界的規律便是數學。數學與物理學的統一從映射的角度看，就是所建立的從現實世界到數學世界裡的映射，至于是不是一一映射，乃至同構或者同胚，就不得而知了。

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