橢圓與雙曲線的焦點三角形公式?橢圓和雙曲線的焦點三角形F1PF2是大家喜歡研究的一類問題，對于焦點三角形的面積除了與頂角∠F1PF2有關系外，還跟b有關系那麼進一步思考：焦點三角形的頂角的取值變化跟該圓錐曲線的離心率有聯系嗎，有什麼聯系呢？，今天小編就來說說關于橢圓與雙曲線的焦點三角形公式?下面更多詳細答案一起來看看吧!

橢圓與雙曲線的焦點三角形公式

橢圓和雙曲線的焦點三角形F1PF2是大家喜歡研究的一類問題，對于焦點三角形的面積除了與頂角∠F1PF2有關系外，還跟b有關系。那麼進一步思考：焦點三角形的頂角的取值變化跟該圓錐曲線的離心率有聯系嗎，有什麼聯系呢？

答案是有聯系的，而且有一個特殊的角度與一個特殊的離心率取值進行對應，下面給出詳細的分析過程，再進行總結。

由于時間問題，在此以焦點在x軸上的橢圓為例。

其中F1 F2分别為左右焦點，P點為橢圓上任意異于左右頂點的點，則焦點三角形為F1PF2。橢圓标準方程為(x^2)/(a^2) (y^2)/(b^2)=1 (a＞b＞0，a＞c＞0，a^2=b^2 c^2)由于P點不在左右頂點上，因此F1PF2這三點不共線、可組成焦點三角形。

現在設|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ。根據橢圓的定義可得 m n=2a(2a＞2c)，|F1F2|=2c。

在焦點三角形F1PF2中對于頂角θ使用餘弦定理可知

cosθ=[m^2 n^2-(2c)^2]/(2mn)=[(m n)^2-2mn-(2c)^2]/(2mn)

=(4a^2-4c^2-2mn)/(2mn)=2b^2/(mn) -1

而m＞0，n＞0，mn≤[(m n)/2]^2,使得mn最大、進而使得cosθ的值最小再進而使得θ最大(cosθ在(0,π)單調遞增)的取等條件為m=n，此時P點正好位于該橢圓的上頂點或下頂點處。

由于m=n，m n=2a，所以m=n=a，POF1 剛好是以b、c為直角邊、a為斜邊的直角三角形，繼續研究：

(cosθ)min=2b^2/(a*a) -1=(b^2-c^2)/a^2

1、如果b＜c，則(cosθ)min ＜0，

在等腰三角形F1PF2中一個底角tan∠PF1O=(b/c)∈(0，1)，則∠PF1O＜45°，2個底角合計＜90°，即有頂角θmax ＞ π/2，

a^2=b^2 c^2＜c^2 c^2=2c^2，即a^2＜2c^2

則e =對應的e∈(二分之根号2， ∞)，離心率越大，橢圓越癟，直到e趨近于1時橢圓圖形壓癟近似為一個長為2a的線段，左右焦點接近于與左右頂點分别重合；

同理

2、如果b=c，則(cosθ)min =0，θmax = π/2， 進而對應離心率e=二分之根号2，這是一個相當美麗的橢圓；

3、如果b＞c，則(cosθ)min ＞0，θmax ＜π/2;進而對應離心率e∈(0，二分之根号2)，離心率越小，橢圓越鼓，直到e趨近于0時橢圓圖形近似于一個半徑為a的圓，兩個焦點無限逼近于坐标原點O；

由上可知，離心率為二分之根号2的橢圓對應的焦點三角形的頂角最大可以為90°，若最大角度可以取到大于90°則離心率應大于二分之根号2，反之則離心率應小于二分之根号2。

這2個結論有什麼用處呢？

第一個是可以判斷命題的正确與否，例如有一本教輔是這樣給出橢圓的條件的，離心率為二分之根号二，焦點三角形的頂角為120°，這顯然是一個錯誤的命題，應該把離心率的取值設置在 [二分之根号3，1) .

第二個是今年高考的一道選擇題，如果去年上圓錐曲線新課時認真聽課的同學，做這道題是比較容易選擇正确答案(0，二分之根号2)。

對于一個概念、一個圖形、一類題目的理解的深入程度可能決定咱們正确解題快慢與否的一個因素。耐心仔細研究，每個人都會有一些收獲。

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